Вычислить интегралы: [latex] \int\limits^2_1 {x^{3}+2x+1 } \, dx [/latex] [latex] \int\limits^1_0 { \frac{dx}{(3x+1)^4} } \, dx [/latex] [latex] \int\limits {x*lnx} \, dx [/latex] Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: ...

[latex]1)\quad \int \limits _1^2(x^3+2x+1)dx=(\frac{x^4}{4}+x^2+x)|_1^2=\\\\=4+4+2-(\frac{1}{4}+1+1)=10-\frac{1}{4}-2=7\frac{3}{4}\\\\2)\quad \int \limits _0^1\frac{dx}{(3x+1)^4}=\frac{(3x+1)^{-3}}{-3}\; |_0^1=-\frac{1}{3}(\frac{1}{4^3}-\frac{1}{1^3})=\frac{1}{4}\\\\3)\; \; \int x\cdot lnx\, dx=[\; u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=x\, dx,\; v=\frac{x^2}{2}\; ]=\\\\=[\; \int \; u\cdot dv=uv-\int \; v\cdot du\; ]=\\\\=\frac{x^2}{2}\cdot lnx-\int \frac{x}{2}dx= \frac{x^2}{2}\cdot lnx-\frac{x^2}{4} +C[/latex] [latex]4)\quad x+2y-4=0\; ,\; \; y=0\; ,\; x=-3\; ,\; \; x=2\\\\2y=-x+4\; ,\; \; y=-\frac{x}{2}+2\\\\S=\int \limits _{-3}^2(-\frac{x}{2}+2)dx=(-\frac{x^2}{4}+2x)|_{-3}^2=-1+4-(-\frac{9}{4}-6)=\\\\=3+6+\frac{9}{4}=9+\frac{9}{4}=\frac{45}{4}=11,25[/latex]