Вычислите интеграл:[latex]\int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {\frac{cosx dx}{2sinx+1}}[/latex] , Задание из учебника 11-го класса уровня С, т.е. сложного. Логарифмы и метод интегрирования по частям ещё не проходил. Чтобы подтвердить э...
Вычислите интеграл:
[latex]\int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {\frac{cosx dx}{2sinx+1}}[/latex] ,
Задание из учебника 11-го класса уровня С, т.е. сложного. Логарифмы и метод интегрирования по частям ещё не проходил. Чтобы подтвердить это добавил вложение снимок содержания учебника. Обратите внимание на страницу 26, она из главы Первообразная и Интеграл, до Логарифма ещё далеко.
Другой пример из этого же задания решил так:
[latex]\int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {\frac{cosx dx}{1-\sqrt{2} cos\frac{x}{2}}}
\\cos2x=2cos^2x-1=(\sqrt2cosx-1)(\sqrt2cosx+1)\\x=\frac{x}{2}\\cosx=(\sqrt2cos\frac{x}{2}-1)(\sqrt2cos\frac{x}{2}+1)\\\frac{cosx}{1-\sqrt2cos\frac{x}{2}}=-(\sqrt2cos\frac{x}{2}+1)\\
\int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {\frac{cosx dx}{1-\sqrt{2} cos\frac{x}{2}}}=\int\limits^\frac{\pi}{2}_0 {-(\sqrt2cos\frac{x}{2}+1)dx}[/latex]
Далее всё просто, применяем формулу Ньютона-Лейбница.
Вот поэтому, после решения этого примера, меня не покидает вера, что можно таким же образом как-то преобразовать без логарифма.
Пожалуйста, не удаляйте это задание!
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость[latex] \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{cosx\, dx}{2sinx+1} =[\, t=2sinx+1\; ,\; dt=2cosx\, dx\; \to \; cosx\, dx=\frac{dt}{2},[/latex]
[latex]t_1=2sin0+1=1\; ,\; \; t_2=2sin\frac{\pi}{2}+1=2+1=3\; ]=\\\\=\frac{1}{2}\int _1^3\, \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}ln|t||_1^3=\frac{1}{2}(ln3-ln1)=\frac{1}{2}ln3[/latex]
[latex]\int _0^{\frac{\pi}{2}}\, \frac{cosx\, dxz}{1-\sqrt2cos\frac{x}{2}}=-\int _0^{\frac{\pi}{2}}(\sqrt2cos\frac{x}{2}+1)dx=-(2\sqrt2sin\frac{x}{2}+x)_0^{\frac{\pi}{2}}=\\\\=-(2\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}+\frac{\pi}{2})=-(2+\frac{\pi}{2})[/latex]
Не нашли ответ?
Похожие вопросы