Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро - 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC. Высота DO опускается в центр треугольника О - точку пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы). Тр-ник AOD - прямоугольный с катетом DO = 8 и гипотенузой AD = 10. Значит, по теореме Пифагора AO = 6 = 2/3 от высоты тр-ника AH. AO = 2/3*AH = 6, тогда AH = 6*3/2 = 9 = AB*√3/2. Отсюда сторона треугольника AB = BC = AC = 9*2/√3 = 18√3/3 = 6√3 Боковая поверхность пирамиды - это три одинаковых равнобедренных треугольника с основанием BC = 6√3 и боковой стороной BD = CD = 10. Высота DH (она же биссектриса и медиана) этого тр-ника BCD DH = √(10^2 - 3^2*3) = √(100 - 9*3) = √(100 - 27) = √73 S = 3*S(BCD) = 3*BC*DH/2 = 3*6√3*√73/2 = 9√219