Взять интеграл от корня из 1-4x²   ∫√(1-4x²)dx

[latex](1- 4x^2)^2/8[/latex] + c надеюсь что верно ..

Тут я так понимаю нужно методом подстановки. Нужно сделать замену аргумента так, чтобы выражение упростилось подставим вместо x=sint/2 [latex]\int\sqrt{(1-4x^2)}dx\\ x=\frac{sint}{2}\\ [/latex] при этом обе части дифференцируются [latex]dx=\frac{cost}{2}dt[/latex] теперь подставляем все это: вместо x = sint/2, вместо dx = cost/2 dt [latex]\int\sqrt{(1-4x^2)}dx\\ \int\sqrt{(1-4(\frac{sint}{2})^2)} \frac{cost}{2}dt=\int\sqrt{(1-sin^2t)}\frac{cost}{2}dt=\\ =\int\sqrt{cos^2t}\frac{cost}{2}dt=\int cost*\frac{cost}{2}dt=\int \frac{cos^2t}{2} dt [/latex] Теперь раскладываем cos^2x формулой понижения степени и тогда уже сможем проинтегрировать. [latex]\int \frac{cos^2t}{2} dt =\int \frac{\frac{1}{2}(1+cos2t)}{2} dt =(\frac{1}{4}+\frac{cos2t}{4})dt=\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{4*2}=\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{8}[/latex] Теперь вместо t надо подставить то, что мы заменяли [latex]x=\frac{sint}{2}\\ 2x=sint\\ t=arcsin2x\\[/latex] подставляем это в полученное нами выражение [latex]\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{8}+C\\ \frac{arcsin2x}{4}+\frac{sin2(arcsin2x)}{8}+C=\frac{arcsin2x}{4}+\frac{4x\sqrt{4-x^2}}{8}+C=\\= \frac{arcsin2x}{4}+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C[/latex]