X²-12x+13=0 Найти: [latex] \frac{1}{12}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})[/latex]

[latex]x^2-12x+13=0[/latex] Убедимся, что уравнение имеет корни: [latex]D_1=(-6)^2-1\cdot13=36-13=23\ \textgreater \ 0[/latex] Уравнение имеет два корня, но они иррациональны. Находить значение заданного выражения будем используя теорему Виета: [latex]\begin{cases} x_1+x_2=12 \\ x_1x_2=13 \right \end{cases}[/latex] Рассмотрим выражение [latex]x_1^3+x_2^3[/latex]: [latex]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)= \\\ =(x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)= \\\ =(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)[/latex] Выражение выражено через сумму и произведение корней. Подставляем известные значения: [latex] \frac{1}{12}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3})= \frac{1}{12}(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)= \\\ = \frac{1}{2}\cdot12\cdot(12^2-3\cdot 13)=12^2-3\cdot 13=144-39=105[/latex] Ответ: 105