X^4-3x^2-11x-21=0 решите уравнение, подробно расписывая решение.

[latex]x^4-3x^2-11x-21=0[/latex]  Добавим и вычтем одинаковые слагаемые [latex]x^4-3x^3+3x^3-9x^2+6x^2-18x+7x-21=0\\ x^3(x-3)+3x^2(x-3)+6x(x-3)+7(x-3)=0\\ (x-3)(x^3+3x^2+6x+7)=0\\ x_1=3\\ x^3+3x^2+6x+7=0[/latex]  Уравнение решим по формуле Кардано kx³ + ax² + bx + c = 0 -формула Q = (a²-3b)/9 = -1 R=(2a³-9ab+27c)/54 = 1.5 S = Q³ - R³ = - 3.25 S<0, значит уравнение имеет 1 корень ω = Arsh(|R|/|∛Q²|)/3 = 0.398 x = - 2sgn(R)√|Q| * sh(ω)-a/3 = - 1.818

x^4 - 3x^2 - 11x - 21 = 0 Добавим и вычтем 3x^3 и 9x^2 x^4 - 3x^3 + 3x^3 - 9x^2 + 9x^2 - 3x^2 - 11x - 21 = 0 Объединяем в группы и приводим подобные (x^4 - 3x^3) + (3x^3 - 9x^2) + 6x^2 - 11x - 21 = 0 Добавим и вычтем 18x (x^4 - 3x^3) + (3x^3 - 9x^2) + (6x^2 - 18x) + 18x - 11x - 21 = 0 Опять приводим подобные (x^4 - 3x^3) + (3x^3 - 9x^2) + (6x^2 - 18x) + (7x - 21) = 0 Выносим (x - 3) (x - 3)(x^3 + 3x^2 + 6x + 7) = 0 x1 = 3 Решаем кубическое уравнение подбором f(x) = x^3 + 3x^2 + 6x + 7 = 0 Ясно, что при любом x >= 0 левая часть > 0, поэтому все корни < 0 f(-1) = -1 + 3 - 6 + 7 = 3 > 0 f(-2) = -8 + 12 - 12 + 7 = -1 < 0 -2 < x2 < -1 f(-3) = -27 + 27 - 18 + 7 = -11 < 0 Ясно, что дальше результат будет еще меньше, других корней нет. Единственный корень x2 - иррациональный. Его можно уточнить f(-1,8) = (-1,8)^3 + 3(-1,8)^2 - 6*1,8 + 7 = 0,088 > 0 f(-1,9) = (-1,9)^3 + 3(-1,9)^2 - 6*1,9 + 7 = -0,429 < 0 f(-1,81) = (-1,81)^3 + 3(-1,81)^2 - 6*1,81 + 7 = 0,03856 > 0 f(-1,82) = (-1,82)^3 + 3(-1,82)^2 - 6*1,82 + 7 = -0.01137 < 0 f(-1,817) = (-1,817)^3 + 3(-1,817)^2 - 6*1,817 + 7 = 0,00366 f(-1,818) = (-1,818)^3 + 3(-1,818)^2 - 6*1,818 + 7 = -0,00134 f(-1,8177) = (-1,8177)^3 + 3(-1,8177)^2 - 6*1,8177 + 7 = 0,0001586 Трех нулей после запятой вполне достаточно. Ответ: x1 = 3, x2 ~ -1,877