Y"-y=x найти общее решение диф.ур-ия,допускающего понижение порядка

Пусть [latex]y'=z[/latex], тогда [latex]y''=z'[/latex]. Подставляя в исходное уравнение, получим [latex]z'-z=x[/latex] То есть, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Применим метод Бернулли Пусть [latex]z=uv[/latex], тогда [latex]z'=u'v+uv'[/latex]. Подставим [latex]uv'+u'v-uv=x\\ u(-v+v')+u'v=x[/latex] Данный метод состоит из двух этапов: 1) Предполагаем, что [latex]u(v'-v)=0[/latex] [latex]v'-v=0\\ v'=v[/latex] Это есть уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам. [latex] \dfrac{dv}{dx} =v[/latex]   [latex] \dfrac{dv}{v} =dx[/latex] - уравнение с разделёнными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения [latex]\displaystyle \int\limits { \frac{dv}{v} } = \int\limits {} \, dx \\ \ln|v|=x\\ v=e^{x}[/latex] 2) Поскольку, как мы предположили, что v' + v = 0, то получим уравнение [latex]u'v=x[/latex] Зная v, находим функцию u. [latex]u'e^x=x\\ u'=xe^{-x}[/latex] Интегрируя по частям, получаем [latex]u=-xe^{-x}-e^{-x}+C[/latex] Найдем решение дифференциального уравнения, выполнив обратную замену. [latex]z=uv=Ce^x-x-1[/latex] Снова обратная замена [latex]y'=Ce^{x}-x-1[/latex] Интегрируя последнее уравнение, получаем [latex]y=C_1e^x- \frac{x^2}{2} -x+C_2[/latex] - общее решение. Ответ: [latex]y=C_1e^x- \frac{x^2}{2} -x+C_2[/latex]