Y''+2y'+y=x^2e^-x решите пожалуйста

Запишем по определению дифференциала: [latex] \dfrac{d^2y}{dx^2} +2\cdot \dfrac{dy}{dx} +y=x^2e^{-x}[/latex] Данное дифференциальное уравнение будет иметь собой сумму дополнительного и конкретного решения. Найдём дополнительное решение:  [latex] \dfrac{d^2y}{dx} +2\cdot \dfrac{dy}{dx} +y=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\star)[/latex] Пусть [latex]e^{ \beta x}=y[/latex], где [latex] \beta [/latex] - константа.Получаем: [latex]\dfrac{d(e^{ \beta x})}{dx^2}+2\cdot\dfrac{d(e^{ \beta x})}{dx}+e^{ \beta x}=0\\ \\ \beta ^2e^{ \beta x}+2 \beta e^{ \beta x}+e^{ \beta x}=0\\e^{ \beta x}( \beta ^2+2 \beta +1)=0[/latex] Произведение равно нулю, значит: [latex]e^{ \beta x}=0[/latex] - уравнение решений не имеет. [latex] \beta ^2+2 \beta +1=0\\ ( \beta +1)^2=0\\ \beta_{1,2} =-1[/latex] Возвращаемся к замене: [latex]y_1=c_1e^{-x}\\ y_2=c_2e^{-x}[/latex] Тогда общее решение уравнения [latex](\star)[/latex]: [latex]y=y_1+y_2=c_1e^{-x}+c_2e^{-x}[/latex] Теперь требуется решить уравнение [latex]\dfrac{d^2y}{dx^2} +2\cdot \dfrac{dy}{dx} +y=x^2e^{-x}[/latex] Конкретное решение этого уравнения: [latex]y_k=x^2( \alpha _1e^{-x}+ \alpha _2e^{-x}+a_3x^2e^{-x})[/latex] Дифференцируем по [latex]x[/latex], то есть будем иметь: [latex] \dfrac{dy_k}{dx} = \dfrac{d}{dx} (x^2( \alpha _1e^{-x}+ \alpha _2e^{-x}+a_3x^2e^{-x}))= \\ \\ =- \alpha _1x^2e^{-x}+2 \alpha _1xe^{-x}- \alpha _2x^3e^{-x}+3 \alpha _2x^2e^{-x}- \alpha _3x^4e^{-x}+4 \alpha _3x^3e^{-x}[/latex] Дифференцируем снова по [latex]x:[/latex] [latex] \dfrac{d^2y_k}{dx^2} = \alpha _1(2e^{-x}+x^2e^{-x}-4xe^{-x})+ \alpha _2(x^3e^{-x}-6x^2e^{-x}+6xe^{-x})+\\\\ + \alpha _3(x^4e^{-x}-8x^3e^{-x}+12x^2e^{-x})[/latex] Подставим частное решение в данное дифференциальное уравнение: [latex] \dfrac{d^2y_k}{dx_2} +2\cdot \dfrac{dy_k}{dx} +y_k=e^{-x}x^2[/latex] После упрощений с подобными слагаемыми в левой части уравнения, мы придём к такому уравнению: [latex]2 \alpha _1e^{-x}+6 \alpha _2xe^{-x}+12 \alpha _3x^2e^{-x}=x^2e^{-x}\\ \\ \begin{cases} & \text{ } 2 \alpha _1=0 \\ & \text{ } 6 \alpha _2=0 \\ & \text{ } 12 \alpha _3=1 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \alpha _1= 0\\ & \text{ } \alpha_2=0 \\ & \text{ } \alpha _3= \dfrac{1}{12} \end{cases}[/latex] [latex]y_k= \frac{1}{12}x^4e^{-x} [/latex] - конкретное решение. Общее решение дифференциального уравнения: [latex]y= \dfrac{1}{12} e^{-x}(x^4+c_1+xc_2)[/latex]