Y=[latex] \frac{x}{ x^{2} -9} [/latex] Решить по плану. В 7 пункте плана продолжение "графика функции берем точки из области определения".

[latex]y=\frac{x}{ x^{2} -9} [/latex] 1. Область определения функции: [latex]x^2-9 \neq 0 \\ x^2 \neq 9 \\\ x \neq \pm3 \\\ D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)[/latex] 2. Исследование на четность: [latex]y(-x)=\frac{-x}{ (-x)^{2} -9} =\frac{-x}{ x^{2} -9} =-\frac{x}{ x^{2} -9} =-y(x)[/latex] - функция нечетная 3. Точки пересечения с осями координат: [latex] \frac{x}{ x^{2} -9} =0 \Rightarrow x=0 \\\ y(0)= \frac{0}{ 0^{2} -9} =0[/latex]  - точка (0; 0) 4. Исследование на монотонность и экстремумы: [latex]y'=\frac{x'(x^2-9)-x(x^2-9)'}{( x^{2} -9)^2}= \frac{x^2-9-x\cdot 2x}{( x^{2} -9)^2}= \frac{x^2-9-2x^2}{( x^{2} -9)^2}= \frac{-x^2-9}{( x^{2} -9)^2} \\\ y'=0: \\\ \frac{-x^2-9}{( x^{2} -9)^2}=0[/latex] Числитель всегда отрицателен, а знаменатель всегда положителен. Значит производная всегда отрицательна, точек экстремума нет, функция убывает на всей области определения 5. Исследование на перегибы: [latex]y''=-\frac{(x^2+9)'( x^{2} -9)^2-(x^2+9)(( x^{2} -9)^2)'}{( x^{2} -9)^4} = \\\ =-\frac{2x( x^{2} -9)^2-(x^2+9)\cdot 2(x^2-9)\cdot2x}{( x^{2} -9)^4} = -\frac{2x( x^{2} -9)^2-4x(x^2+9)(x^2-9)}{( x^{2} -9)^4} = \\\ =-\frac{2x( x^{2} -9)-4x(x^2+9)}{( x^{2} -9)^3} = -\frac{2x^{3} -18x-4x^3-36x}{( x^{2} -9)^3} = \frac{2x^{3} +54x}{( x^{2} -9)^3} =\frac{2x(x^2 +27)}{( x^{2} -9)^3} \\\ y''=0: \\\ \frac{2x(x^2 +27)}{( x^{2} -9)^3} =0\Rightarrow x=0[/latex] [latex]x=0[/latex] - точка перегиба При [latex]x\in(-\infty;-3)\cup(-3;0][/latex] функция вогнута При [latex]x\in[0;3)\cup(3;+\infty)[/latex] функция выпукла 6. Построение графика: [latex]y( 1)=\frac{1}{ 1^{2} -9} = \frac{1}{1-9} =- \frac{1}{8} \\\ y(- 1)=\frac{1}{8} \\\ y( 2)=\frac{2}{ 2^{2} -9} = \frac{2}{4-9} =- \frac{2}{5} \\\ y( -2)= \frac{2}{5} \\\ y(4)= \frac{4}{4^2-9} = \frac{4}{16-9} = \frac{4}{7} \\\ y(-4)= - \frac{4}{7} \\\ y( 5)=\frac{5}{ 5^{2} -9} = \frac{5}{25-9} = \frac{5}{16} \\\ y( -5)=- \frac{5}{16}[/latex] [latex]y( \frac{5}{2} )= \frac{ \frac{5}{2} }{( \frac{5}{2} )^2-9} = \frac{ \frac{5}{2} }{ \frac{25}{4} -9} = \frac{10}{25-9\cdot4} = \frac{10}{25-36} =- \frac{10}{11} \\\ y( -\frac{5}{2} )= \frac{10}{11} \\\ y( \frac{7}{2} )= \frac{ \frac{7}{2} }{( \frac{7}{2} )^2-9} = \frac{ \frac{7}{2} }{ \frac{49}{4} -9} = \frac{14}{49-9\cdot4} = \frac{14}{49-36} = \frac{14}{13} \\\ y( -\frac{7}{2} )= -\frac{14}{13} [/latex]