Зачем нужно уметь выполнять морфемный и словообразовательный разбор?

Вы не записали предложение, поэтому точно указать синтаксическую роль существительного дорога невозможно. Это может быть и подлежащее (Дорога уходит в даль), и сказуемое (Это моя дорога). Кроме того, без предложения даже определить, какая это часть речи, невозможно: скорее всего, это существительное доро́га, но так как ударение не поставлено, а предложения нет, то данное слово можно принять и за краткое прилагательное дорога́ (Мне дорога́ память о прошлом). А разборы у этих разных частей речи тоже, само собой разумеется, разные. Доро́га – имя существительное. I Обозначает предмет: что? дорога. Н.ф. – дорога. II Морфологические признаки: постоянные – нарицательное, неодушевлённое, женского рода, 1 склонения; непостоянные – в единственном числе, в именительном падеже (замечу, что винительный падеж в единственном числе – дорогу, во множественном – дороги). III (Что?) дорога (подлежащее или сказуемое, объяснение выше). Дорога́ – имя существительное. I Обозначает признак предмета: какова? дорога́. Н.ф. – дорого́й. II Морфологические признаки: постоянные – качественное; непостоянные – в краткой форме, в единственном числе, женском роде. III (Какова?) дорога́ (сказуемое). Слово чугун по составу разобрать просто: чугу́н/ – корень/нулевое окончание; основа слова – чугун. А вот словообразовательный разбор подобных слов не делается, так как это первообразное, непроизводное слово, то есть такое, которое не образовано ни от какого другого слова, а наоборот, дало начало всем остальным однокоренным словам: ✔ чугунка, ✔ чугунный ✔ чугуновоз, ✔ чугуновозный, ✔ чугунок, ✔ чугунолитейный, ✔ чугуноплавильный, ✔ чугунчик. Добавлю, что заимствовано слово чугун в XVIII веке из тюркских языков, где, как предполагают учёные-лингвисты, имело исходное значение "железная руда".