Задача Архимеда! 1^2+2^2+3^2+4^2+...n^2=1/6n(n+1)(2n+1) доказать что это так.

Мат индукция вам в помощь. Докажем базу. База 1. 1^2 = 1*2*3/6 Пусть выполнено для n. Покажем, что из этого следует то, что выполнено утверждение для n+1. 1^2+2^2+.....+n^2+(n+1)^2 = n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)^2 = (n+1)(2n^2+n+6n+6)/6 = (n+1)(2n^2+7n+6)/6 = (n+1)*2*(n+2)(n+3/2)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 = (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 

[latex]1^2+2^2+3^2+4^2+...n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/latex] Доказываем методом математической индукции 1 шаг проверяем  формлулу для n=1 [latex]1 ^{2}= \frac{1\cdot (1+1)(2+1)}{6}[/latex] - верно 2 шаг предполагаем, что для  n=k формула верна. [latex]1^2+2^2+3^2+4^2+...k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}[/latex] 3 шаг используя предыдущее предположение доказываем формулу для n=k+1 [latex]1^2+2^2+3^2+4^2+...k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}[/latex] Рассмотрим левую часть [latex]1^2+2^2+3^2+4^2+...k^2+(k+1)^2[/latex] заменим первые k слагаемых на [latex]\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}[/latex] согласно предположению, тогда [latex]\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+( k+1)^2=(k+1)( \frac{2k ^{2}+6 }{6}+k+1)= \\ \\ = (k+1)( \frac{2k ^{2}+k +6k+6}{6})= (k+1)( \frac{2k ^{2}+7k+6}{6})= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} [/latex] [latex]\frac{((k+1)+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/latex] что и требовалось получить. На основании принципа математической индукции ( аксиомы) формула верна для любого натурального n