Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют...

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле [latex]\frac{\sqrt3}2a[/latex]. То есть, сторона каждого последующего треугольника - это сторона предыдущего, умноженная на постоянный множитель [latex]\frac{\sqrt3}2[/latex]. То есть сторона n-го треугольника будет равна [latex]a\left(\frac{\sqrt3}2\right)^{n-1}[/latex]. Периметр же n-го треугольника равен [latex]\left.3a\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\right)^{n-1}\right.[/latex]. Имеем геометрическую прогрессию относительно периметров: первый её член равен 8*3=24, знаменатель прогрессии - [latex]\left(\frac{\sqrt3}2\right)^{n-1}[/latex]. Периметр шестого треугольника: [latex]\\b_6=b_1\cdot q^{n-1}=24\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\right)^6=24\cdot\frac{81}{64}=\frac{3\cdot81}{8}=\frac{243}8[/latex] см.