Задача на максимум и минимум :   Число 54 представьте в виде суммы трех положительных чисел так,чтобы отношение первого числа ко второму было равно 3:1, а произведение всех трех чисел была НАИБОЛЬШИМ.

Пусть первое число равно 3а,тогда второе равно а,третье число равно b Тогда имеет место система: [latex]\left \{ {{4a+b=54} \atop {3a^2b=max}} \right[/latex] [latex]b=54-4a[/latex] [latex]3a^2(54-4a)=-12a^3+162a^2[/latex] По условию функция вида [latex]f(x)=-12a^3+162a^2[/latex] Должна принимать максимальное значение на области определения: [latex]a \in (0;54)[/latex] Рассмотрим эту функцию: [latex]f(x)=-12a^3+162a^2=12a^2(-a+13,5)[/latex] Очевидно,что она принмает положительные значения на интервале: [latex]a \in (0;13,5)[/latex] В точке,где функция принимает максимальное значения касательная к функции есть константа вида [latex]f_{kas}=C,C=const[/latex] То есть тангенс угла наклона касательной равен нулю: [latex]tg\alpha=f'(a_0)=-36a_{0}^2+324a_0=0[/latex] [latex]a_0[/latex] точка касания [latex]a_0_1=0;a_0_2=9[/latex] Первая точка не подходит по условию задачи,значит а=9,3a=27,b=54-4*9=18