Задача:На столе лежит n спичек. Двое играющих по очереди берут со стола 1, 2 или 5 спи?

Выигрышная стратегия для первого игрока: первое число – количество спичек. Последующие числа: ходы игроков, в квадратных скобках [] – указаны ходы соперника 1    1 – выигрыш 2    2 – выигрыш 3    нет выигрышной стратегии 4    1, [1 или 2], 2 или 1 – выигрыш 5    5 – выигрыш 6    1 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 5 с инверсией позиций). 6    2 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 4 с инверсией позиций). 6    5 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 1 с инверсией позиций). 6    нет выигрышной стратегии 7    1, далее у соперника нет шансов (см. пункт 6 с инверсией позиций). 8    2, далее у соперника нет шансов (см. пункт 6 с инверсией позиций). 9    1 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 8 с инверсией позиций). 9    2 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 7 с инверсией позиций). 9    5 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 4 с инверсией позиций). 9    нет выигрышной стратегии 10    1, далее у соперника нет шансов (см. пункт 9 с инверсией позиций). 11    2, далее у соперника нет шансов (см. пункт 9 с инверсией позиций). 12    1 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 11 с инверсией). 12    2 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 10 с инверсией). 12    5 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 7 с инверсией). 12    нет выигрышной стратегии Просматривается индукционный вывод. Допустим, мы знаем, что: 3n–2    выигрыш гарантирован 3n–1    выигрыш гарантирован 3n    нет выигрышной стратегии 3n+1    выигрыш гарантирован 3n+2    выигрыш гарантирован Это верно для n = 3. Тогда: 3n+3    1 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 3n+2 с инверсией). 3n+3    2 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 3n+1 с инверсией). 3n+3    5 – гарантирует выигрыш соперника (см. пункт 3n–2 с инверсией). 3(n+1)    нет выигрышной стратегии 3(n+1)+1    1, далее у соперника нет шансов (см. пункт 3(n+1) с инверсией). 3(n+1)+2    2, далее у соперника нет шансов (см. пункт 3(n+1) с инверсией). Значит всё сказанное в допущении верно и для n+1, т.е. для n=4, n=5, n=6, n=7 и т.д. О т в е т : Первый может гарантированно выиграть, если число спичек на столе не кратно трём. Стало быть, ему нужно всегда оставлять на столе перед соперником число спичек кратное трём. Если в очередном ходе начавшего игру на столе лежит число спичек больше кратного трём на единицу (1, 4, 7, 10, 13 и т.п.), то начавший игру должен брать одну спичку, оставляя сопернику кратное трём. Если в очередном ходе начавшего игру на столе лежит число спичек больше кратного трём на двойку (2, 5, 8, 11, 14 и т.п.), то начавший игру должен брать две или пять спичек (если это возможно), оставляя сопернику кратное трём. Второй может гарантированно выиграть, если начальное число спичек на столе кратно трём. В любом ходе ему нужно всегда оставлять на столе перед начавшим игру число спичек кратное трём. Если в очередном ходе второго игрока на столе лежит число спичек больше кратного трём на единицу (1, 4, 7, 10, 13 и т.п.), то второй игрок должен брать одну спичку, оставляя начавшему – кратное трём. Если в очередном ходе второго игрока на столе лежит число спичек больше кратного трём на двойку (2, 5, 8, 11, 14 и т.п.), то второй игрок должен брать две или пять спичек (если это возможно), оставляя начавшему – кратное трём. .