Задача, связанная с окружностью. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, делят его угол на части, градусные меры которых относятся как 5:8:5. Найдите углы треугольника

Пусть основание АВ, вершина, из которой проведены медиана и высота - С, середину АВ обозначим М, основание высоты К (СК - высота к АВ). Опишем вокруг АВС окружность и продлим СМ и СК до пересечения с ней. Пусть это точки, соответственно Е для СМ и Р для СК. Мы знаем, что дуги АЕ и ВР равны. Поэтому ЕР II AB => ЕР перпендикулярно СР, => EC - диаметр, и => М - центр окружности. В самом деле, АМ = МВ, но АВ не перпендикулярно ЕС, а это возможно, только если М - цетр окружности (можно указать на равенство СК и КР, поэтому СМ = МС, и опять - М - центр) Итак ,мы имеем ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ треугольник АВС, угол АСВ = 90 градусов. Из равенства дуг СВ и ВР (мы уже ДОКАЗАЛИ, что АВ - диаметр, пепендикулярный СР) следует, что угол СЕР в 2 раза больше ВСК, то есть если считать угол  ВСК = 5*х, то угол ЕСР = 8*х, угол СЕР = 10*х.  Но угол ЕСР + угол СЕР = 90 градусов, откуда х = 5 градусов, угол САВ = угол КСВ = 5*х = 25 градусов, угол КВС = 90 - 25 = 65 градусов. Ответ углы треугольника 25, 65 и 90 градусов.