Задано функцию нескольких переменных [latex]z=ln(x^2y)+y^3[/latex] Найти: 1) [latex]\frac{d^2z}{dx^2} , \frac{d^2z}{dxdy} , \frac{d^2z}{dy^2}[/latex] 2) градиент функции z в точке [latex]M_0(3;5)[/latex] 3) производную в точке ...

Question

Задано функцию нескольких переменных [latex]z=ln(x^2y)+y^3[/latex] Найти: 1) [latex]\frac{d^2z}{dx^2} , \frac{d^2z}{dxdy} , \frac{d^2z}{dy^2}[/latex] 2) градиент функции z в точке [latex]M_0(3;5)[/latex] 3) производную в точке ...

Задано функцию нескольких переменных [latex]z=ln(x^2y)+y^3[/latex] Найти: 1) [latex]\frac{d^2z}{dx^2} , \frac{d^2z}{dxdy} , \frac{d^2z}{dy^2}[/latex] 2) градиент функции z в точке [latex]M_0(3;5)[/latex] 3) производную в точке [latex]M_0(3;5)[/latex] по направлению вектора [latex]l(3;4)[/latex] Только пожалуйста очень подробно

Гость

Ответ(ы) на вопрос:

Accepted Answer

[latex]z=ln(x^2y)+y^3; z \limits'_x =\frac {dz}{dx}=\frac{1}{x^2y} *2xy+0=\frac{2xy}{x^2y}=\frac{2}{x}; \\ [/latex] [latex]z \limits'_y =\frac {dz}{dy}=\frac{1}{x^2y} *x^2+3y^2=\frac{x^2}{x^2y}+3y^2=\frac{1}{y}+3y^2; \\[/latex] [latex]z \limits''_x^2 =\frac {d^2z}{d x^2}=(\frac{2}{x})'_x=-\frac{2}{x^2}; \\ z \limits''_y^2 =\frac {d^2y}{d y^2}=((\frac{1}{y})+3y^2)'_y=-\frac{1}{y^2}+6y; \\ z \limits''_(xy) =\frac {d^2y}{d x dy}=((\frac{1}{y})+3y^2)'_x=0; \\ [/latex] (здесь вообще важно помнить о теореме Шварца) [latex]grad z=(\frac{dz}{dx};\frac {dz}{dy});[/latex] [latex]grad z=(\frac{2}{x};\frac{1}{y}+3y^2); \\ grad z(M)=(\frac{2}{3}; \frac{1}{5}+3*5^2)=(\frac{2}{3}; 75.2)[/latex] [latex]\frac{dz}{dl}=z'_x cos\alpha+ z'_y cos\beta[/latex] [latex]|l|=\sqrt{3^2+4^2}=5;\\ cos \alpha=\frac{3}{5}=0.6;\\ cos \beta=\frac{4}{5}=0.8;\\ \frac {dz}{dl}=\frac{2}{3}*0.6+75.2*0.8=60.56[/latex]