Дипломная работа: Алгоритмы с многочленами

Опираясь на этот результат, можно доказать несколько простых, но важных теорем о взаимно простых многочленах:

Теорема 1. Если многочлен взаимно прост с каждым из многочленов и , то он взаимно прост и с их произведением.

Доказательство. В самом деле, существуют, по (2.6), такие многочлены и , что .

Умножая это равенство на , получаем:

,

откуда следует, что всякий общий делитель и был бы делителем и для ; однако по условию .

Теорема 2. Если произведениемногочленов и делится на , но и взаимно просты, то делится на .

Доказательство. Умножая равенство на , получим: .

Оба слагаемых левой части этого равенства делятся на ; на него делится, следовательно, и .

Теорема 3. Если многочлен делится на каждый из многочленов и , которые между собой взаимно просты, то делится и на их произведение.

Доказательство. Действительно, , так что произведение, стоящее справа, делится на . Поэтому, по теореме 2, делится на , , откуда .

Определение наибольшего общего делителя может быть распространен на случай любой конечной системы многочленов: наибольшим общим делителем многочленов называется такой общий делитель этих многочленов, который делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Существование наибольшего общего делителя для любой конечной системы многочленов вытекает из следующей теоремы, дающей также способ его вычисления.

Теорема. Наибольший общий делитель многочленов равен наибольшему общему делителю многочлена и наибольшего общего делителя многочленов