Дипломная работа: Исследование магнитных систем в программной системе конечно-элементного анализа ANSYS

где φ (x, y, z) – скалярная функция.

В цилиндрической системе координат оно выглядит следующим образом:

[3]

где φ(R, α, z).

К уравнениям эллиптического типа относится уравнение Пуассона, которое для линейных изотропных (μх = μy = μz = μ = const) сред имеет вид:

[5]

Где - векторный магнитный потенциал , - вектор плотности тока,

-абсолютная магнитная проницаемость среды моделирования.

Если речь идет о нелинейных средах моделирования, т.е. μ ≠ const, то из уравнений Максвелла получим

[6]

или

[7]

Вектор-потенциал есть величина векторная и в декартовой системе координат

,

вектор плотности тока

.

Тогда уравнение Пуассона разбивается на три уравнения относительно скалярных величины Аx, Аy, Аz.

Если в модели ЭУ принять, что ток, а следовательно, и векторный магнитный потенциал имеют только z-составляющую, то получим плоскопараллельную или осесимметричную задачу. Для плоскопараллельного магнитного поля в декартовой системе координат можно записать уравнение Пуассона

[8]

Решив данное уравнение и зная распределение векторного магнитного потенциала по области моделирования, можно найти распределение составляющих вектора магнитной индукции и результирующего значения (модуля) вектора магнитной индукции по выражениям

[9]

Для того чтобы уравнения Лапласа-Пуассона имели единственное решение, они дополняются граничными (краевыми) условиями. На замкнутой границе Г модели ЭУ могут быть заданы следующие краевые условия.

1. Граничные условия первого рода (Дирихле) – на границе Г задается значение искомой функции, т.е. φ = f1 (x, y, z), где точки с декартовыми координатами (x, y, z) принадлежат границе Г. Условие φ = 0 является однородным.

2. Граничные условия второго рода (Неймана). Для них задается изменение искомой функции по нормали n к границе Г, т.е dφ /dn= f2 (x, y, z), где точки с координатами (x, y, z)

принадлежат границе Г. Условие dφ/dn = 0 является однородным.

3. Граничные условия третьего рода dφ /dn + f3 (φ) = f4 (x, y, z), где точки с координатами (x, y, z) принадлежат границе Г.

На границе модели могут быть заданы смешанные краевые условия, т.е. сочетание вышеприведенных – первого, второго и третьего рода.

1.2 Основные положения метода конечных элементов для решения электромагнитных задач