Дипломная работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп

В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.

Напомним, что формация называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям:

1) --- нормально наследственная формация;

2) любая группа , где и --- -субнормальные -подгруппы из , принадлежит .

В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.

В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы

В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно субнормальных (-субнормальных и -достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации.

Напомним, что критической группой формации ( минимальной не -группой) называется группа, не принадлежащая , все собственные подгруппы которой принадлежат . Множество всех таких групп обозначают . Через обозначают множество всех разрешимых групп, а через --- множество всех групп, у которых -корадикал разрешим.

1.1 Лемма. Пусть --- насыщенная формация, --- наследственная насыщенная формация. Если и , где , то .

Доказательство. Пусть . По теореме 2.2.1, --- -группа. Очевидно, что . По лемме 2.2.2, , где --- -группа, --- -группа и . Так как и , то . Следовательно, --- -группа. Пусть --- -главный фактор . Если --- -группа, то -централен.

Пусть --- -группа. По теореме 2.2.3, . Пусть и --- произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Так как , то, по теореме 2.2.4, . Следовательно, . Поскольку

то . Учитывая, что , по теореме 2.2.5, имеем

где --- максимальные внутренние локальные экраны, соответственно и . Если , то . Отсюда и из того, что

следует . А это значит, что -централен.

Пусть . Так как --- насыщенная формация и , то . Следовательно, --- -нормализатор группы . В силу того, что покрывает , то -централен. Следовательно, . По теореме 2.2.4, . Лемма доказана.

1.2 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Если --- -субнормальная подгруппа, то --- субнормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Если , то лемма очевидна. Пусть . Тогда содержится в максимальной -нормальной подгруппе группы . По индукции, --- субнормальная подгруппа из . Так как и --- наследственная формация, то . Следовательно, , значит, . Поскольку --- нормальная подгруппа группы , то --- субнормальная подгруппа . Лемма доказана.

1.3 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная формация, --- -субнормальная подгруппа группы такая, что . Тогда .

Доказательство. Пусть . Очевидно,

Так как , то по индукции . Следовательно,

Отсюда, согласно лемме 2.2.6,

Пусть . Тогда --- цоколь группы . По лемме 3.1.2, --- субнормальная подгруппа группы . По теореме 2.2.7, . Следовательно, --- нормальная подгруппа группы . Тогда