Дипломная работа: Композиции преобразований

Задача 2. Найти композицию двух поворотов пространства R_b ^b ◦ R_a ^a .

Решение. Сначала найдём композицию R_b ^b ◦ R_a ^a двух поворотов, оси которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр h прямых a иb и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:

R_a ^a =S_h ◦S_u , R_b ^b =S_v ◦S_h , u ^ a, u ^ b, u Ç h Ç a=A, v Ç h Ç b=B,

Ð (u, h ) =, Ð (h, v ) = (рис. 2). Тогда

R_b ^b ◦ R_a ^a = S_v ◦ S_h ◦ S_h ◦ S_u = S_v ◦ S_u . Оси u иv скрещиваются, если бы они принадлежали одной плоскости, то прямые a и b , перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композиция симметрий S_v ◦ S_u есть винтовое движение, осью которого является общий перпендикуляр l прямыхu и v , угол w =2 Ð (u , v ), а вектор =2 , где P = u Ç l , Q = v Ç l .

	b	h
a	B	b	v	u ¢
a
A	l	u

Рис. 2

Угол w винтового движения можно вычислить через углы a и b данных поворотов и угол g = . По теореме косинусов для трехгранного угла с вершиной B , ребрами которого являются лучи h ,u ^¢ ,v , справедливо следующее равенство:

cos = - cos cos - sin sin cos g (доказательство данной формулы можно найти в [4], с. 26).

Рассмотрим случай, когда оси a и b пересекаются (в точке B ). Тогда прямые u и v также будут пересекаться в точке B , и u ^¢ совпадет с прямой u . Искомая композиция R_b ^b ◦ R_a ^a есть поворот R _l ^w , причем угол этого поворота подсчитывается по указанной выше формуле. При a ║ b и a +b ¹ 2 p прямые u и v пересекаются в точке O . И рассматриваемая композиция R_b ^b ◦ R_a ^a есть поворот R _l ^{a + b} , ось l которого проходит через точку O параллельно прямым a и b .

При a║ b и a +b=2 p будет u ║v. В этом случае композиция поворотов является переносом.

Задача 3. Найти композицию трех зеркальных симметрий.

Решение. Выделим случай, когда композиция трех зеркальных симметрий является зеркальной симметрией, S _g ◦ S _b ◦ S _a =S _w . Это равенство эквивалентно равенству S _b ◦ S _a = S _g ◦ S _w . Если плоскости a и b имеют общую прямую l , то S _b ◦ S _a = R_l ^j и поэтому S _g ◦ S _w = R_l ^j . Следовательно, все четыре плоскости имеют общую прямую l . Если же плоскости a и b параллельны, то S _b ◦ S _a = и S _g ◦ S _w = . Следовательно, все четыре плоскости параллельны.

Нетрудно доказать обратное. Таким образом, если плоскости зеркальных симметрий пересекаются по одной прямой или параллельны, то их композиция является зеркальной симметрией, плоскость которой соответственно содержит прямую пересечения или параллельна плоскостям, исходных симметрий.

Пусть плоскости a , b , g имеют единственную общую точку O . В этом случае она является единственной неподвижной точкой композиции этих симметрий (предположение о существовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему случаю). Следовательно, композиция f =S _g ◦ S _b ◦ S _a есть поворотная симметрия. Найдем ее компоненты: плоскость, ось и угол поворота. Обозначим прямые пересечения плоскостей следующим образом: b Çg =a , g Ça =b , a Çb =c (рис. 3).

Пусть f ( c )= c ₁ , тогда прямые c иc ₁ симметричны относительно плоскости g , и S _a ( a )= a ₀ , тогда f ( a ₀ )= a . Поскольку плоскость w поворотной симметрии f делит каждый отрезок, соединяющий соответственные точки, пополам, то ей принадлежат ортогональные проекции m и n прямыхa и c соответственно на плоскости a и g . Итак, w есть плоскость, проходящая через прямые m и n . Ось l поворота есть перпендикуляр к плоскости w в точке O , угол поворота j равен углу между ортогональными проекциямиa ₀ иa (илиc иc ₁ ) на плоскость w .

	O
c	a
c1
a0	m
w	b	n

Рис. 3

Если плоскости a , b , g попарно перпендикулярны, то искомая композиция является центральной симметрией Z_o .

Рассмотрим случай, когда плоскости a , b , g исходных симметрий попарно пересекаются по параллельным прямым, т.е. a ║ b ║ c . Тогда в каждой плоскости, перпендикулярной этим прямым, композиция f =S _g ◦ S _b ◦ S _a индуцирует композицию осевых симметрий относительно прямых пересечения этой плоскости с плоскостями a , b , g . А она является переносной симметрией рассматриваемой плоскости с определенными осью l и вектором . Поэтому, учитывая род композиции, композиция f есть переносная симметрия пространства с вектором и плоскостью, проходящей через прямую l параллельно прямым a ,b , c .

1.2. Композиции центральных симметрий пространства

Задача 4. Найти композицию: а) двух центральных симметрий пространства, б) центральной симметрии и переноса, в) трёх центральных симметрий пространства.

Решение. а) Найдём композицию центральных симметрий пространства с центрами A и B . Для этого найдём образ произвольной точки M после применения композиции Z_B ◦Z _A :

(Z_B ◦Z _A )( M )= P (рис. 4).

	M
A
P
B
N

Рис. 4

Для треугольника MNP имеет место равенство: =2 . Точки A и B заданы, следовательно, вектор - постоянный, и искомая композиция двух центральных симметрий Z_B ◦Z _A есть параллельный перенос на вектор 2 :

Z_B ◦ Z_A = . (1)

б) Найдем композицию центральной симметрии Z_O и переноса в пространстве. Представим перенос как композицию двух центральных симметрий: =Z_B ◦ Z_O , где =. Следовательно, ◦Z_O =( Z_B ◦ Z_O )◦ Z_O . Это равенство эквивалентно равенству:

◦Z_O = Z_B . (2)