Дипломная работа: Композиции преобразований
Предисловие ...................................................................................... 3
Введение ............................................................................................. 4
§ 1. Композиции движений пространства.......................................... 4
1.1. Основные композиции движений пространства........... 4
1.2. Композиции центральных симметрий пространства.... 9
1.3. Композиция зеркальной и центральной
симметрий пространства................................................ 11
1.4. Композиции осевых симметрий пространства.............. 12
1.5. Применение композиций движений
пространства к решению задач...................................... 16
§ 2 . Композиции подобий и аффинных преобразований
пространства .............................................................................. 18
Литература ........................................................................................ 22
Предисловие
Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.
Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].
В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.
Введение
Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f ( x )= y , g ( y )= z для произвольного x Î X , конечно, y Î X и z Î X . Отображение j определим законом j ( x )= g ( f ( x )) . Тогда отображение j является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g . В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: j = g ◦ f .
Композиции преобразований обладают следующими свойствами:
1 ° . Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f ,g ,h данного множества имеет место равенство:
h ◦( g ◦ f )=( h ◦ g )◦ f .
2 °. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.
В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.
§ 1. Композиции движений пространства
1.1. Основные композиции движений пространства
Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.
Задача 1. Найти композицию поворота Rl j и переноса 
пространства при условии, что вектор 
и ось поворота l не параллельны.
Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:
Rl j = Sb ◦ Sa , где a ^ l , b ^ l , Ð ( a , b ) = 
(здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), a Ç b Ç l = O и =Sv ◦ Su , где u ║v , u ^ . Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда ◦ Rl j =Sv ◦ Su ◦ Sb ◦ Sa = Sv ◦ Sa . Если вектор не ортогонален оси l , то прямые a и v скрещиваются, и угол между ними равен углу между a и b , т.е. равен 
. Композиция Sv ◦ Sa есть винтовое движение с осью m , являющейся общим перпендикуляром прямых a и v , и вектором 2 
, где P = a Ç m ,Q = v Ç m ,m ║ l . Итак,
◦ Rl j = 
◦ Rl j , m ║ l .
Если ^ l , прямые a и v пересекаются, поэтому =
,и искомая композиция является поворотом Rm j . Если при этом j =p , то имеем, что ◦ Rl j = Sm , ^ l , m ║ l .
| |
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <-- К-во Просмотров: 226
Бесплатно скачать Дипломная работа: Композиции преобразований
|
