Дипломная работа: Композиции преобразований
Если прямые b иc параллельны, то Sc ◦ Sb = 
. Тогда и правая часть равенства (*) является переносом: Sl ◦ Sa = . А значит прямые a и l также будут параллельными.
Таким образом, получили, что, если прямые b , c параллельны, то все оси a ,b ,c и l попарно параллельны (рис. 9а).
| h | l | |
|
|  |  |
| A | ||
 |  | a |
| c | b | |
| l | O | |
| c | ||
| a | ||
| b |
Рис. 9а Рис. 9б
Если прямые b иc пересекаются в точке O , то композиция Sc ◦ Sb является поворотом Rh j (см. [3], c. 15), где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c , при этом точка O принадлежит оси h , угол j =2 Ð (b , c )(рис. 9б). Тогда и композиция Sl ◦ Sa является этим же поворотом Rh j , значит h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l , точка пересечения A которых принадлежит оси h , и ориентированный угол между a и l равен углу поворота j .
Таким образом, если оси b иc пересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b иc , пересекается с перпендикуляром h к этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых b иc . Осьl удовлетворяет следующим условиям:точка пересечения A прямых a и h принадлежитl ,l параллельна плоскости ( b , c ) , ориентированные углы Ð (a , l )= Ð (b , c ). Если точка A принадлежит прямой a , то точки A и O совпадают, т.е. ось l также походит через точку A .
Если прямые b иc скрещиваются, то композиция Sc ◦ Sb является винтовым движением Rh 2 j ◦, ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c , вектор 
коллинеарен оси h , угол j равен ориентированному углу между прямыми b и c (рис. 9в). В силу равенства (*) композиция Sl ◦ Sa является этим же самым винтовым движением: Sl ◦ Sa = Rh 2 j ◦, то есть h – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a иl , и угол Ð (a , l )= j .
| h | l | |
| |||
| a | |||
| c | |||
 | |||
| b |
Рис. 9в
Таким образом, если оси b иc - скрещивающиеся, то прямые a , b иc попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h . Ось l удовлетворяет следующим условиям: l иh - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b , c иa , l равны, и углы между этими осями также равны.
Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.
Задача 10. Композиция трех осевых симметрий есть перенос: Sc ◦ Sb ◦ Sa = . Каково взаимное положение их осей?
Решение. Если прямые b и c параллельны, то композиция Sc ◦ Sb является переносом
. Тогда ◦ Sa = , полученное равенство эквивалентно равенству Sa = 
◦ или Sa = 
(этот факт легко доказывается по аналогии с композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство противоречиво, а значит композиция Sc ◦ Sb ◦ Sa при параллельных b и c не может быть переносом.
Если прямые b иc пересекаются в точке O , то композиция Sc ◦ Sb является поворотом Rh j , где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b иc , при этом точка O принадлежит оси поворота h , и угол j =2 Ð (b , c ). Тогда исходная композиция Sc ◦ Sb ◦ Sa = будет эквивалентна следующей композиции Rh j ◦ Sa = . Такое возможно только, если поворот Rh j является осевой симметрией пространства, т.е. угол j =± p , при чем оси симметрий a иh параллельны, и расстояние между ними равно 
. В силу этих рассуждений, получили, что ось a перпендикулярна плоскости ( b , c ) , а прямые b иc перпендикулярны между собой.
Таким образом, при пересекающихся осях b иc для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы прямые a ,b иc были попарно перпендикулярными.
Если b иc скрещиваются, то композиция Sc ◦ Sb является винтовым движением Rh j ◦ 
, где h – общий перпендикуляр прямых b иc , угол j =2 Ð (b , c ), 
=
(рис. 10).
|