Дипломная работа: Композиции преобразований

в) Найдем композицию трех центральных симметрий пространства f = Z_C ◦ Z_B ◦ Z_A . Композицию Z_C ◦ Z_B представим в виде переноса в соответствии с выводом (1): Z_C ◦ Z_B = . Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f = ◦ Z_A . Воспользовавшись выводом (2), заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия Z_O , центр О которой определяется условием =. Таким образом, композиция трех центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:

1) композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;

2) композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Задача 5. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин параллелограмма ABCD .

Решение. Требуется найти композицию f = Z_D ◦ Z_C ◦ Z_B ◦ Z_A (рис. 5).

	C	B
D	A

Рис. 5

Сгруппируем элементы композиции «удобным» образом и воспользуемся выводом (1) предыдущей задачи:

f=( Z_D ◦ Z_C )◦( Z_B ◦ Z_A )= ◦. Векторы и являются противоположными, поскольку ABCD есть параллелограмм, следовательно искомая композиция является тождественным преобразованием E .

Обобщим эту задачу на случай четырех произвольных точек.

Задача 6. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно четырех произвольных точек.

Решение. Требуется найти композицию f = Z_E ◦ Z_C ◦ Z_B ◦ Z_A (рис. 6). Воспользуемся результатом предыдущей задачи, для этого построим, например, в плоскости BCD точку D такую, что четырехугольник BCED является параллелограммом.

	A	B
C
D
E

Рис. 6

Тогда равенству f = Z_E ◦ Z_C ◦ Z_B ◦ Z_A эквивалентно равенство f = Z_D ◦ Z_D ◦ Z_E ◦ Z_C ◦ Z_B ◦ Z_A . Композиция Z_D ◦ Z_E ◦ Z_C ◦ Z_B есть тождественное преобразование, т.к. BCED – параллелограмм. И искомая композиция имеет вид f = Z_D ◦ Z_A , а это перенос пространства (согласно выводу (1) ).

1.3. Композиции зеркальной и центральной симметрий

Задача 7. Найти композицию зеркальной и центральной симметрий, если плоскость первой не содержит центр второй.

Решение. Пусть даны плоскость a и точка О , не принадлежащая ей. Найдем композицию Z_O ◦ S _a . Центральная симметрия Z_O как частный случай поворотной симметрии представима композицией осевой и зеркальной симметрии: Z_O = S_l ◦ S _b , где l и b - перпендикулярные прямая и плоскость, причем l Çb = O . Выберем плоскость b таким образом, что a ║ b , тогда l будет являться перпендикуляром и к плоскости a (рис. 7).Тогда Z_O ◦ S _a = S_l ◦ S _b ◦ S _a . В силу того, что плоскости a и b параллельны, их композиция есть параллельный перенос , при этом ║l . А это по определению есть винтовое движение с осью l , углом 180°, вектором .

	O
		L	A		h
b
l
A
a
l	a	O
a

Рис. 7 Рис. 8

Итак, композиция зеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: Z_O ◦ S _a = S_l ◦ . (3)

Задача 8. Найти композицию Z_O ◦ S _a ◦ S_l , если прямая l параллельна плоскости a и точка О лежит в a .

Решение. На основании (3) композиция Z_O ◦ S _a в общем случае есть винтовое движение. В силу того, что О Î a , вектор винтового движения будет нулевым, и само винтовое движение выродится в осевую симметрию S_a , где a ^ a и O Î a (рис. 8). Тогда Z_O ◦ S _a ◦ S_l = S_a ◦ S_l , причем a ^ l .

Если прямые a и l скрещиваются, то искомая композиция является винтовым движением R_h ^j ◦ , угол j которого равен 2 Ð( a, l )= p , ось h – общий перпендикуляр прямых a и l , вектор =2 , где L = l Ç h , A = a Ç h (см. [3], с. 19).

Если прямые a и l пересекаются, то =, и композиция S_a ◦ S_l является осевой симметрией S_h , где h – это перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l .

1.4. Композиции осевых симметрий пространства

Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: S_c ◦ S_b ◦ S_a = S_l . Какое взаимное положение могут иметь прямые a , b , c ? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.

Решение. Равенству S_c ◦ S_b ◦ S_a = S_l эквивалентно равенство