Дипломная работа: Методика преподавания темы Тригонометрические функции в курсе алгебры и начал анализа
Таким образом, наиболее удачным учебным пособием в плане изучения темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начала анализа является учебно-методический комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит.
§ 3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа
В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа:
-Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в курсе геометрии (8-9 класс).
-Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях в курсе алгебры и начал анализа (10-11 класс ).
На первом этапе не доказывается и не уточняется, что изучаемые зависимости являются функциями. Изменение синуса и косинуса при изменении угла доказываются на основе свойств наклонной. Эти понятия достаточно абстрактны для курса геометрии, поэтому усваиваются довольно плохо. Но еще большие трудности вызывает переход к аргументу, большему 900 . Ведь мы определяли тригонометрические функции через отношение сторон прямоугольного треугольника, а, как известно, в прямоугольном треугольнике не может быть угла с градусной мерой, большей 900 . Для объяснения этого факта уже на этом этапе приходится рассматривать окружность, и это является своеобразной пропедевтической работой для введения тригонометрических функций числового аргумента с помощью окружности в курсе алгебры и начал анализа.
На втором этапе происходит переход от углового аргумента к числовому. С самого начала курса мы должны рассматривать тригонометрические функции углов любой величины – значит предварительно нужно познакомить учеников с углом как с величиной, способной изменятся от -¥ до +¥. В курсе геометрии такое понятие не фигурировало, следовательно, это необходимо восполнить на втором этапе. Таким образом, возникает необходимость введения числовой окружности, работу с которой целесообразно провести также на втором этапе.
В качестве пропедевтической работы для изучения модели числовой окружности желательно рассмотреть геометрические задачи на нахождение длины дуг четверти окружности данного радиуса, ее трети и половины. Обобщая полученные результаты, необходимо подвести учащихся к тому факту, что для дальнейшей работы выгоднее выбирать окружности именно единичного, а не произвольного радиуса.
В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:
- находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженным в долях числа p и выраженным не в долях числа p;
- составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;
- определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;
- работать одновременно в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольно-декартовой и осуществлять переход от одной системы координат к другой;
- находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам;
Для этого целесообразно рассматривать задания следующих типов:
1) Найти на числовой окружности точки p/2, 9p, 26p/3, -5p/4, -7p/6…..
2) Найти на числовой окружности точки 1, 2, -7, 4.5, -31 ….
3) Определить, каким четвертям принадлежат точки 21p/4, -37p/6, 10, -95.
4) Отметить на числовой окружности точки t, удовлетворяющие неравенствам: а) p/6+2pк £t£ 2p/3+2pк, кÎZ
б) -p/3+2pк £t£ 3p/4+2pк, кÎZ
5) Найти декартовы координаты точек, соответствующих числам p/4, -3p/2, 23p/6, -13p/3…..
6) Найти положительные и отрицательные числа, которым соответствуют точки с координатами (1/2;Ö3/2), (-Ö2/2; Ö2/2); (Ö3/2; -1/2), (-1,0)….
7) Найти на числовой окружности точки с ординатами (абсциссами) равными -Ö3/2, 1/2, -Ö2/2, 0, -1, абсциссы (ординаты) которых отрицательны, и записать, каким числам они соответствуют.
8) Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) > -Ö2/2 и записать, каким числам они соответствуют.
В процессе работы с числовой окружностью следует обратить внимание на следующие моменты.
В арсенале учителя должно находится как минимум два макета с числовыми окружностями. На первом из них отсчет ведется в положительном направлении с указанием расположения точек 0, p/6, p/4, p/3, p/2, 2p/3…. , на втором - в отрицательном с указанием точек -0, -p/6, -p/4, -p/3, -p/2, -2p/3…., причем второй макет желательно вывесить после того, как учащиеся ответят или попытаются ответить на вопрос: «Что будет, если точка будет двигаться не положительном, а в отрицательном направлении?».
Эта мотивационная задача позволяет еще раз провести связь между числовой окружностью и числовой прямой. Ведь на числовой прямой можно было откладывать не только положительные, но и отрицательные значения, причем сколь угодно большие. На числовой окружности можно делать то же самое, но следует учитывать тот факт, что на прямой соответствие между точками и числами взаимно-однозначное, а на окружности у каждой точки бесконечно много имен, отличающихся друг от друга на 2pк, где кÎZ.
Это главное отличие учащиеся должны четко понимать и осознавать. Для этого числовую окружность можно сравнить с колесом, а числовую прямую с бесконечной нитью, на которой отмечены точки. Наматывая нитку на колесо, предварительно совместив соответствующие нулевые точки, можно заметить, что точки, отличающиеся на 2p, попадут в одно и тоже место на колесе, благодаря тому, что длина числовой окружности единичного радиуса составляет именно 2p.
Больше всего проблем, связанных с неоднозначностью соответствия между точками и числами на окружности возникает при решении задач вида: «Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) большей Ö3/2 и записать, каким числам они соответствуют».