Дипломная работа: Нахождение решений дифференциальных уравнений

Применение шаговых методов решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

у’= f(x, у), х≥0, (1)

у(0) =α, (2)

встречает серьезные трудности, если решение у(х) не продолжаемо на всю числовую ось.

Действительно, привычное определение решения, как функции аргумента х, заставляет выбирать в качестве шага значение . Вычисления с таким шагом не позволяют "заметить", например, вертикальную асимптоту решения. В работе предлагается модификация одношаговых численных методов, позволяющая оценивать и учитывать максимальный интервал существования решения задачи (1), (2) с тем, чтобы не строить лишенные смысла "приближенные решения" за границами этого промежутка, если он кончен. Эта модификация основывается на геометрической идее рассмотрения решения как кривой на плоскости Оху. При таком взгляде в качестве шага естественно выбрать длину заключенного между точками (,), (), аппроксимирующей решение.

Применим эту идею к модификации метода Эйлера, описываемого формулами =+, +. Так как здесь интегральная кривая заменяется ломаной, то в качестве постоянного шага H выберем расстояние между точками (), (,), т.е.

=.

Отсюда . Таким образом, метод Эйлера можно записать в виде:

+; . (3)

Приведем условия конечности максимального интервала существования решения задачи (1), (2) и выясним поведение при этих условиях приближенного решения, построенного по формулам (3). Интервал [0,b) считается максимальным интервалом существования решения , если или если не существует конечного предела Соответствующее решение , определенное на [0,b), называется полным. Предлагаемое ниже утверждение не содержит требований к функции f, гарантирующих наличие полного решения и тем более его единственность. Отметим в связи с тем, что непрерывности f достаточно для существования полного решения и продолжаемости любого решения на максимальный интервал.

ТЕОРЕМА 1. Пусть α>0 и существуют такие положительные числа А, δ, что при всех , выполнено неравенство:

f(x,y) ≥А (4)

Тогда:

если существует полное решение , x, задачи (1), (2),

то ,

для приближенного решения, построенного по формулам (3), имеют место предельные соотношения , .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Решением задачи = , z(0) = , является функция z=α/(1-Aδαδx) 1/δ, имеющая вертикальную асимптоту x=1/ (Aδcδ). Согласно теореме об оценке решения дифференциального уравнения ([2] , с.29)

y(x) Утверждение 1) доказано.

Вследствие неравенства (4) и положительности y0 для численного решения, построенного по формулам (3), имеем при любом i. Далее, так как функция возрастающая, то

/ = 00.

Отсюда

,

Поскольку , то ряд сходится, поэтому существует . Утверждение 2) доказано.

Теореме 1 свидетельствует о "качественной близости" приближенного и точного решений задачи (1), (2). Для исследования сходимости предлагаемого метода удобно заменить задачу (1), (2), задачей Коши для системы двух уравнений:

,

. (5)

x(0) =0,y(0) =α (6)

Решением этой системы являются функции x=x(t), y=y(t), задающие параметрические уравнения интегральной кривой задачи (1), (2).