Дипломная работа: О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп

Пусть – -замкнутая формация. Группа называется -минимальной не -группой , если , но для любой собственной подгруппы из .

Для всякой совокупности групп через обозначают -замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп , т.е. пересечение всех -замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих . Если , то называют однопорожденной -замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых -замкнутых тотально насыщенных формаций и полагают . Частично упорядоченное по включению множество всех -замкнутых тотально насыщенных формаций с операциями и образует полную решетку. Формации из называют -формациями. Экран, все непустые значения которого -формации, называют -значным . Если – -формация, то через обозначают её минимальный -значный локальный экран .

Для произвольной последовательности простых чисел и всякой совокупности групп класс групп определяют следующим образом:

1) ; 2) .

Последовательность простых чисел называют подходящей для , если и для любого число . Множество всех подходящих для последовательностей обозначают через . Символом обозначают совокупность всех таких последовательностей из , у которых при всех .

Пусть – некоторая подходящая для последовательность. Тогда -значный локальный экран определяют следующим образом:

1) ; 2) .

В дальнейшем через будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.

2. Используемые результаты

Лемма 2.1 [9]. Пусть – монолитическая группа, – неабелева группа. Тогда имеет единственную максимальную -подформацию , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы . В частности, .

Лемма 2.2 [2, c . 33]. Пусть , где – непустой класс групп. Тогда если – минимальный -значный экран формации , то справедливы следующие утверждения:

1) ;

2)

при всех простых числах ;

3) если – произвольный -значный экран формации , то при любом имеет место

Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].

Лемма 2.3. Пусть , – -замкнутые тотально насыщенные формации, , – канонический экран формации . Тогда является -критической формацией в том и только в том случае, когда , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что для всех формация -критична.

3. Основные результаты

Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп , поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание -критических формаций для некоторых конкретных классов групп.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разрешимые формации.

Напомним, что группу называют -разрешимой, если для каждого ее главного -фактора . Пусть – формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно, . Класс всех -разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима .

Доказательство. Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) – группа простого порядка ;

2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то – неабелева группа и . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность. Пусть , где – группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация имеет единственную максимальную -замкнутая тотально насыщенную подформацию , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы . Поскольку и , то . Следовательно, – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. Теорема доказана.