Математика / Дипломная работа: О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп

Дипломная работа: О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп

Если теперь – множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем

Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где – некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где и – различные простые числа.

Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где и – различные простые числа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -замкнутые формации.

Напомним, что группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу. Формация всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где – не -замкнутая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через формацию всех -замкнутых групп.

Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -замкнутая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) – группа простого порядка ;

2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и