Дипломная работа: Обобщение классических средних величин

Заключение ................................................................................................... 30

Библиографический список ....................................................................... 31

Введение

Вопросы данной работы относятся к области математического анализа, конкретнее к теории средних величин, которая рассматривает свойства средних и неравенства с ними связанные.

Нашей целью будет изучение так называемых квази-средних, обобщающих известные среднее арифметическое, геометрическое и степенное.

В главе 1 мы скажем вначале о том, что вообще понимается под средними, а затем введём новые величины и проверим, в какой мере они удовлетворяют этому определению.

В главе 2 от прямого, конструктивного задания квази-средних, перейдём к аксиоматическому определению, то есть предпишем им некоторые характеристические свойства, а также выделим их основные классы. Здесь в основе будут лежать функциональные уравнения, которые мы отдельно рассмотрим.

В главе 3 укажем неравенства для квази-средних, из которых как частные случаи получим основные неравенства для средних степенных (неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом; неравенства, характеризующие свойство монотонности средних степенных; неравенство Гюйгенса; неравенство Гёльдера) и их аналоги. Теперь будем опираться на теорию выпуклых функций, и поэтому вновь предварительно обсудим некоторые её вопросы.

Методы доказательств, которые мы применяем в этой работе, не выходят за рамки классического анализа: используем свойства непрерывных, монотонных, выпуклых функций, обращаемся к функциональным уравнениям, при этом доказываем все необходимые факты.

Многие утверждения известны из литературы (где иногда просто сформулированы), некоторые утверждения являются новыми. Мы приводим их полное доказательство, уточняем, детализируем.

Глава 1. Квази-средние как обобщение классических средних величин

Так как предметом нашего изучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средние определяются в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий, состоит в следующем [6].

Определение. Непрерывная действительная функция от n неотрицательных переменных называется средним, если для любых выполняются условия:

1. , то есть S “усредняет” любой набор из n неотрицательных чисел (свойство усреднения);

2. , то есть “большему” набору соответствует не меньшее значение S (свойство возрастания);

3. при любой перестановке чисел S не меняется (свойство симметричности);

4. (свойство однородности).

Но чаще используется более слабое определение: средние выделяются среди других функций предписыванием им только свойства усреднения [2,3,5].

Так известные среднее арифметическое , среднее геометрическое , и более общее среднее степенное для очевидно будут средними и по сильному определению, а их весовые аналоги – взвешенные средние , , , где , , уже не обладают свойством симметричности.

Теперь введём новые величины, обобщающие указанные классические средние – квази-средние [1], которые и будут предметом нашего изучения.

Легко заметить способ построения взвешенного среднего степенного – это есть величина с функцией , сюда включено и взвешенное среднее арифметическое при , и взвешенное среднее геометрическое – та же величина, но с функцией .

Отказавшись от конкретного вида функции , получаем естественное обобщение этих простейших средних [1,2] –, где , с тем лишь ограничением на , что она должна быть непрерывной и строго монотонной на некотором промежутке, содержащем все , тогда обратная функция существует, и мы можем строить для любых чисел из такого промежутка.

Определение. Квази-среднее есть величина вида , где , , для чисел из некоторого промежутка, на котором функция непрерывна и строго монотонна.

Очевидно, квази-средние включают и не взвешенные, обыкновенные средние, если взять для всех номеров i и те же функции ,, . Как мы сказали, эти частные случаи квази-средних удовлетворяют всем условиям сильного определения средней величины. Естественно проверить, какие из условий останутся верными и для построенного обобщения. Рассмотрим условия по порядку.

1. Свойство усреднения.

При возрастании x от до возрастает или убывает от до , и поэтому как среднее арифметическое лежит между этими значениями, но тогда в силу непрерывности обратной функции точка обязана попасть в отрезок [;] = [;], то есть , и свойство выполняется.

2. Свойство возрастания.

Для возрастающей из следует и , а так как обратная функция также возрастает, то или .

В случае убывающей получаем тот же результат. То есть влечёт , и свойство выполняется.

3. Свойство симметричности.