Дипломная работа: Обобщение классических средних величин
Действительно, пусть М симметрична. Тогда для некоторого набора различных чисел и произвольной их перестановки
или
, и поэтому
. Обозначив
, имеем
, где
– набор, полученный произвольной перестановкой различных (в силу строгой монотонности функции
) чисел
. Покажем, что последнее равенство возможно, только если
. Рассуждаем по индукции.
Для n =2 получаем равенство _______________________________________________________________________________________________________________________________ или
, откуда
.
Предполагая теперь, что наше утверждение верно для какого-нибудь натурального , покажем, что оно будет верным и для
, то есть из равенства
будет следовать
.
В наборе фиксируем
, а остальные
чисел произвольно переставляем, тогда
или
, и поэтому по предположению
. Аналогично, зафиксировав
, получаем
. В результате
. Индукционный переход обоснован, и мы можем заключить, что наше утверждение верно для любых n .
А так как , то
.
4. Свойство однородности.
Также в общем случае, очевидно, не выполняется. Позже мы покажем, что однородными квази-средними будут только средние степенные.
Итак, по слабому определению квази-средние уже являются средними, но сильному определению они удовлетворяют только наполовину. Поэтому мы и назвали такие величины квази (“почти”)-средними.
Глава 2. Квази-средние и функциональные уравнения
Выше мы определили квази-средние напрямую, конструктивно, но оказывается, что можно дать и аксиоматическое определение, то есть предписать им характеристические свойства. С этой целью отдельно рассмотрим несколько функциональных уравнений, которые также будут использованы нами и для выделения основных классов квази-средних. Напомним, что с помощью свойства симметричности один класс мы уже указали – это величины вида .
1. Решение некоторых функциональных уравнений
Теорема 1. Единственными непрерывными хотя бы в одной точке решениями следующих уравнений являются соответственно функции:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
и
, x ≠0;
7.
, x >0
Доказательство. 1. Найдём все непрерывные хотя бы в одной точке решения уравнения , которое будет основным, так как мы далее сведём к нему все остальные уравнения.
Зафиксируем точку х0 из области определения – ту самую, в которой решение непрерывно, и проверим верность равенства для любого r
R .
, что возможно только при
;
для любого r
N ;
для r =0;
, но тогда
и
для любого r
N , то есть равенство верно для всех целых r .
Далее пусть r Q или r = z / n , где p
Z и q
N .
и поэтому
, то есть равенство верно для всех рациональных r .
На последнем шаге используем непрерывность решения в точке х0 и тот факт, что любое действительное число представляется как предел некоторой рациональной последовательности.
Если , то
и
, а так как
, заключаем, что
для любого r
R .
Теперь , p
R (если обозначить не зависящий от х множитель
за p ).