Дипломная работа: Особенности формирования понятия площади у младших школьников

2) Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3) Если фигура состоит из фигур и , то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур и .

4) При замене единицы площади численное значение площади данной фигуры увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5) Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. .

6) Если фигура является частью фигуры , то численное значение площади фигуры не больше численного значения площади фигуры

, т.е. .

В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосновывают, исходя из определения площади, при этом численное значение длины отрезка – длиной.

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.

Напомним, что слово «площадь» в этой формулировке означает численное значение площади, а слово «длина» - численное значение длины отрезка.

Доказательство. Если - данный прямоугольник, а числа ,-длины его сторон, то

Докажем это. Пусть и - натуральные числа. Тогда прямоугольник можно разбить на единичные квадраты (рис.2):

Всего их , так как имеем рядов, в каждом из которых квадратов. Отсюда

Пусть теперь и - положительные рациональные числа:

,

где - натуральные числа. Приведем данные дроби к общему знаменателю:

,

Разобьем сторону единичного квадрата на равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат разделится на более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата . Тогда

а поскольку

, то .

Так как , , то отрезок длиной укладывается на стороне точно раз, на стороне - точно раз. Поэтому данный прямоугольник будет состоять из квадратов . Следовательно,

Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами и , то площадь этого прямоугольника вычисляется по формуле .

Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются положительными действительными числами, мы опускаем.

Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство. Пусть - параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис.3). Опустим перпендикуляр из вершины на прямую . Тогда .

Опустим перпендикуляр из вершины на прямую . Тогда

Так как треугольники и равны, то равны и их площади. Отсюда следует, что , т.е. площадь параллелограмма равна площади прямоугольника и равна , а так как , то .

Из это теоремы вытекает следствие: площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

Заметим, что слова «сторона» и «высота» в данных утверждениях обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.

Теорема. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой , радиус вписанной окружности - , а площадь правильного многоугольника - , то, согласно данной теореме,

Доказательство. Разобьем правильный -угольник на треугольников, соединяя отрезками вершины -угольника с центром вписанной окружности.