Дипломная работа: Расширение кольца с помощью полутела
является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S @(Q + È{0})´R с теми же операциями совпадает с (Q + ´R )
({0}´R ) = (Q + ´R )R .
Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.
Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R , порождённое одним элементом e .
Пусть e - образующий. Поскольку в качестве элементов R выступают p 1 e + p 2 e 2 + … + pn -1 e n -1 , pi Î Q , n - наименьшая нулевая степень e , T R - в точности совпадает с одним из двух полуколец.
(q +q 1 e + q 2 e 2 + … + qn -1 e n -1 ,p 1 e + p 2 e 2 + … + pn -1 e n -1 )q Î Q + ,qi ,pi Î Q или
(q +q 1 e + q 2 e 2 + … + qn -1 e n -2 ,p 1 e + p 2 e 2 + … + pn -1 e n -1 )q Î Q + ,qi ,pi Î Q
c операциями
(q 1 ,r 1 )+ (q 2 ,r 2 ) = (q 1 + q 2 )+ (r 1 + r 2 ), (q 1 ,r 1 )×(q 2 ,r 2 ) = (q 1 q 2 ,q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2 ).
2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R @m (0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. "a Î m (0), a +x +ax = 0Ûx = (-a )/(1+a )Î m (0)
Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q [x ]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q +q 1 e + q 2 e 2 + … + qn -1 e l ,p 1 e + p 2 e 2 + … + pn -1 e m )q Î Q + ,qi ,pi Î
Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).
Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.
§2. Допустимые полутела
Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P , что P R .
Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R , тогда множество элементов M = {m Î R , "r Î R | r ∙m = m ∙r =0} образует в нём подкольцо.
2. Множество элементов E = {e Î R ,1+e =1 } образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.
3.Множество Q + ×(R / I ) является полутелом с операциями (q 1 ,r 1 )+ (q 2 ,r 2 ) = (q 1 + q 2 )+ (r 1 + r 2 ), (q 1 ,r 1 )×(q 2 ,r 2 ) = (q 1 q 2 ,q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2 ), где I - произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R .
Теорема 2. Пусть áR , U , D ñ- допустимая тройка и R ненулевое. Тогда множество Q + + R есть подполутело U , изоморфное ((R / I )´ Q + ), где I некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм a полутела U в кольцо R -модульных эндоморфизмов End R R , образ которого содержит Q + . Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Im a содержит подполутело, изоморфное ((R / I )´ Q + ).
Доказательство. Пусть T , R - из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q + r , q Î Q + , r Î R . Два элемента q + r 1 и q + r 2 равны тогда и только тогда, когда 1+r 1 -r 2 =1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r 1 +r =1+r 1 . Поэтому все элементы вида q +r +e , 1+ e =1 "e сливаются в классы q ×(R / I ), где I - множество всех e .
Отображение j u : R ®uR ,u Î U ввиду дистрибутивности и ассоциативности в U R является R – модульнымэндоморфизмом. Пусть j u + j v :R ®(u + v ) R и j u × j v :R ®uvR , тогда отображение a : U ®End R R , сопоставляющее каждому элементу u Î U эндоморфизм j u - канонический гомоморфизм.
Пусть правый аннулятор R нулевой, тогда для двух элементов q 1 +r 1 ,q 2 +r 2 , считая без ограничения общности, q 1 =q 2 + q 3 (q 3 может равняться нулю), "r , (q 1 +r 1 )r =(q 2 +r 2 )r Û(q 3 +r 1 -r 2 )r = 0Þq 3 =0,r 1 =r 2 . Элементы q 1 +r 1 и q 2 +r 2 одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому a - мономорфизм и Im a содержит подполутело, изоморфное ((R / I )´ Q + ).
Замечание. Система (Q + ×(R / I ))È({0}×R ) с операциями (q 1 ,r 1 )+ (q 2 ,r 2 ) = (q 1 + q 2 )+ (r 1 + r 2 ), (q 1 ,r 1 )×(q 2 ,r 2 ) = (q 1 q 2 ,q 1 r 2 + r 1 q 2 + r 1 r 2 ) и произвольным идеалом аннулятора с делимой аддитивной группой I является дизъюнктным объединением. Сложение класса (R / I ) с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.
§3. О единственности расширения
При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности U R для данных U и R . Ниже приведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений при заданных U и R .
Пусть для данных полутела U и кольца R существует коммутативное U R и пусть t Î R не лежит в AnnR , но t × r Î AnnR "r Î R (примером такого дизъюнктного объединения с элементом t служит
(q +q 1 e + q 2 e 2 + … + qn -1 e n -1 ,p 1 e + p 2 e 2 + … + pn -1 e n -1 )q Î Q + ,qi ,pi Î Q из примера 1).
Определим новые операции на U ÈR следующим образом: Умножение оставим неизменным, а сложение элементов r Î R и u Î U сложение зададим законом u År = u + r + r × t . Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:
1. Ассоциативность сложения:
(u1 Åu2 )År=u1 Å(u2 År )Ûu1 +u2 +r+rt= u1 +u2 +r+rt
(u År1 )År2 =u Å(r1 År2 )Ûu +r1 +r1 t+r2 +r2 t=u+r1 +r2 + (r1 +r2 )t.
2. Дистрибутивность:
u1 (r Åu2 )=u1 r Åu1 u2 Ûu1 (r +u2 +rt )=u1 u2 +u1 r+u1 rt
r1 (u År2 )=r1 u År1 r2 Ûr1 u+r1 r2 +r1 r2 t=r1 u +r1 r2 .
Таким образом, U ÈR с новыми операциями является дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм f :u ®u "u Î U :
r ®(1+t )-1 r "r Î R . Причёмft : r ®(1+t )-1 r "r Î R – автоморфизмR .