Дипломная работа: Расширение кольца с помощью полутела

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Лукин Михаил Александрович

_____________________

Научный руководитель:

д. ф.-м. н.,профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии

Вечтомов Евгений Михайлович

_____________________

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии

Чермных Василий Владимирович

_____________________

Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров – 2005

Введение........................................................................................ 3

§1. Допустимые кольца и решетки.............................................. 6

§2. Допустимые полутела.......................................................... 10

§3. О единственности расширения............................................ 12

Заключение................................................................................. 14

Библиографический список........................................................ 15

Введение

Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.

Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).

В работе исследуется следующий вопрос.Для каких кольца R , полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L ?

Полукольцом называется такая алгебраическая структура áS ; +, ×, 0ñ, что áS ; +, 0ñ - коммутативный моноид с нулем 0, áS , ñ - полугруппа и в S выполняются тождества a (b +c )=ab +ac , (a +b )c =ac +bc и a 0=0a =0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру áS ; +, ñ, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом . Полукольцо с квазитождеством a +b =0 Þa =0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a +a =a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a +b =a +c Þb = c называется сократимым.

Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T , если на S существует такая конгруэнция s, что K @[0]_s - изоморфно нулевому ядру - и S / s @T . Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K , возможно без нуля, с помощью полукольца T , если на S существует конгруэнция r, для которой K @[1]_r - изоморфно единичному ядру - и S / r @T . В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).

Для произвольного полукольца S обозначим через R (S )множество всех аддитивно обратимых элементов в S , а через U (S ) – множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. Очевидно, что R (S ) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a +b ÎR (S ) Þa , b ÎR (S )).

Пусть S / R (S )– фактор-полукольцо полукольца S по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R (S ): s конгруэнтно t Ûs +a =t +b для некоторых a , b ÎR (S ). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp -полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a +1, a ÎS , обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S каждого уравнения axa = a .

Справедливы следующие утверждения.

1.Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R ( S ), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--