Дипломная работа: Развитие функциональной линии в курсе алгебры 7-9 классов на примере учебников по алгебре под ред

1.1. Цели место и изучения функциональной линии.

Цели:

1. Ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и конкретностью, как понятие функциональной зависимости. Ученик буквально на каждом шагу встречается с разными применениями функциональной зависимости, в том числе изображённой в виде графиков и диаграмм, чтение и составление которых предполагает определённое функциональное мышление.

2. Это понятие, как ни одно другое воплощает в себе черты современного математического мышления, приучает мыслить величины в их изменяемости и взаимосвязи, таким образом, идея функции способствует усвоению учащимися основ диалектического мировоззрения.

3. Понятие функции – это основное понятие высшей математики, поэтому качество подготовки учащихся средней школы к усвоению математики высшей школы во многом зависит от того, насколько твёрдо и полно данное понятие изучено в школе.

4. Многие понятия школьного курса математики строятся на понятии функции, а также решение многих задач, непосредственно не связанных с понятием функции, используют знания о ней. Идея функции может быть использована и в геометрии.

Итак, изучение понятия функции – это не только одна из важнейших целей преподавания математики в школе, но и средство, которое даёт возможность связать общей идеей разные курсы математики, установить связь с другими предметами (физикой, химией),

Место изучения функциональной линии в различных учебниках :

В школьных учебниках место изучения функций различно.

В учебниках [10], [12], [14] в 7 классе вводятся понятия функции (как зависимость одной переменной от другой), аргумента, области определения функции, графика функции, рассматриваются способы задания функции. Там же изучается прямая пропорциональность, линейная функция и степенные функции вида у = х ² , у = х ³ , их свойства и графики. В 8 классе рассматриваются обратная пропорциональность и функция . В 9 классе вводятся понятия возрастающей и убывающей функций, чётности и нечётности функций. Рассматриваются квадратичная функция (её график и свойства), простейшие преобразования графиков (на примере квадратичной функции) и степенная функция с натуральным показателем.

В учебниках [11], [13], [15] понятие функции вводится в 7 классе, как зависимость одной переменной от другой. Но здесь не вводится понятие аргумента, области определения функции, а рассмотрены только способы задания функции и график функции. После этого изучаются прямая пропорциональность и линейная функция, их графики. В 8 классе рассматривается квадратичная функция, сначала изучается график и свойства функции затем и . В 9 классе вводятся понятия области определения функции, возрастание и убывание функции, чётность и нечётность функции. Рассматриваются обратная пропорциональность и степенная функция .

В учебниках [2], [5], [8] функция начинает изучаться в 7 классе. Здесь рассматриваются линейное уравнение с двумя переменными и его график, линейная функция, прямая пропорциональность и функция , их графики. Учащиеся учатся находить наибольшее и наименьшее значения этих функций на заданном промежутке. Вводится понятие о непрерывных и разрывных функциях, разъясняется запись , а также вводится функциональная символика. В 8 классе рассматриваются следующие функции: , , , и их графики. В 9 классе вводятся определение функции, способы задания функции, область значения, область определения функции, свойства функций: монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, чётность и нечётность. Даны наглядно-геометрические представления о непрерывности и выпуклости функции. Произведён обзор свойств и графиков известных функций: , , , , , , . А так же рассмотрены функции и , их свойства и графики, построение графика функции по известному графику функции . Кроме того, в 9 классе введены элементы теории тригонометрических функций и , их свойства и графики.

В учебниках [1], [4], [7] изучение функциональной линии начинается в 7 классе. Здесь вводится понятие функции, таблица значений и график функции, пропорциональные переменные. Учащиеся знакомятся с прямой пропорциональностью, с линейной функцией, с функцией их свойствами и графиком, а также с графиком линейного уравнения с двумя переменными. В 8 классе изучается функция , в 9 классе рассматривается квадратичная функция и функция (особое внимание уделяется случаю n = 3).

В учебниках [3], [6], [9] изучение функциональной линии начинается в 8 классе. Вводятся понятия функции, её графика, рассматриваются функции , , , прямая пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, их свойства и графики. В 9 классе изучается степенная функция . Кроме того, здесь могут быть рассмотрены функции , , , и . Но этот материал не является обязательным для изучения. На этом изучение функциональной линии (в основной школе) в данном комплекте заканчивается.

Итак, можно сделать вывод, что в учебниках [2], [5], [8] функциональная линия является ведущей (здесь рассмотрены понятия и функции, которым не придаётся значения в других учебниках, например, непрерывность и выпуклость, функции , , ). В других учебниках (выше рассмотренных) внимание уделяется другим содержательно-методическим линиям, а значение функциональной линии в этих учебниках умеренное. В рассмотренных учебниках содержание и место изучения данной содержательной линии отличается не существенно.

В различных учебниках используются различные способы исследования функции.

В учебниках [10], [12], [14] применяется комбинированный метод в 7 и 8 классе, а в 9 классе – аналитический. В учебниках [11], [13], [15], [1], [4], [7] используется комбинированный метод, в учебниках [2], [5], [8] – графический метод.

1.2. Анализ школьной программы.

Функциональная линия – это одна из ведущих линий в школьной математике, знакомство с ней начинается в 5 классе, а заканчивается в 11 классе. В основной школе происходит изучение таких понятий, как функция, область определения функции, способы задания функции, график функции, возрастание и убывание функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции, чётная и нечётная функции.

Изучаются линейная функция у = кх + b , степенные функции вида у = х ² , у = х ³ , квадратичная функция у = ах ² + b х + с, обратная пропорциональность , функция, содержащая знак модуля , а также функции и , где n – натуральное число.

Кроме того, рассматриваются простейшие преобразования графиков функций.

После изучения функциональной линии в основной школе учащиеся должны:

- понимать, что функция – это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

- правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.) и символику; понимать её при чтении текста, в речи учителя, в формулировке задач;

- находить значение функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;

- находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и наименьшее значения;

- строить графики функций – линейной, прямой и обратной пропорциональностей, квадратичной функции;

- интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

1.3. Подходы к изучению понятия «функция».