Дипломная работа: Схема Бернулли. Цепи Маркова

S (n² ) = n³ /3 + n² /2+ n/6

S (n³ ) = n⁴ /4 + n³ /2 + n2/4

S (n⁴ ) = n⁵ /5 + n⁴ /2 + n³ /3 – n/30

S (n⁵ ) = n⁶ /6 + n⁵ /2 + 5n⁴ /12 - n² /12

S (n⁶ ) = n⁷ /7 + n⁶ /2 + n⁵ /2 - n³ /6 + n/42

S (n⁷ ) = n⁸ /8 + n⁷ /2 + 7n⁶ /12 - 7n⁴ /24 + n² /12

S (n⁸ ) = n⁹ /9 + n⁸ /2 + 2n⁷ /3 - 7n⁵ /15 + 2n³ /9 – n/30

S (n⁹ ) = n¹⁰ /10 + n⁹ /2 + 3n⁸ /4 - 7n⁶ /10 + n⁴ /2 - n² /12

S(n¹⁰ ) = n¹¹ /11 + n¹⁰ /2 + 5n⁹ /9 – n⁷ + n⁵ - n³ /2 + 5n/66

Затем Я. Бернулли указал общую формулу

S(nc) = n^c+1 /c+1 + 1/2*n^c + 1/2*( )An^c-1 + 1/4*( )Bn^c-3 + 1/6*( )Cn^c-5 +

+1/8*( )Dn^{c -7} + …

Здесь ( ), ( ) … - числа сочетаний; показатели степени n убывают, последний член в правой части содержит n или n² .

Числа A, B, C, D … - коэффициенты при n в выражениях S(n² ), S(n⁴ ), S(n⁶ ), …

Именно: А=1/6, В=-1/30, С=1/42, D=-1/30,

Бернулли формулирует общее правило для вычисления этих чисел: сумма коэффициентов в выражениях S(n), S(n² ), S(n³ ), … равна единице. Например, 1/9+1/2+2/3-7/15+2/9+D=1. Отсюда D=-1/30.

Я. Бернулли подчеркивает удобство таблицы фигурных чисел и заявляет, что с ее помощью в течение «половины четверти часа» нашел сумму десятых степеней первой тысячи натуральных чисел. Она оказалась равной

91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.

1.2 Схема Бернулли. Обобщение

Определение 1. Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода - "успех" и "неудача", при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью а неудача - с вероятностью .

Под независимостью в совокупности испытаний понимается независимость в совокупности любых событий, относящихся к разным испытаниям. В испытаниях схемы Бернулли, когда с одним испытанием можно связать только два взаимоисключающих события, независимость в совокупности испытаний означает, что при любом независимы в совокупности события успех в первом испытанииуспех в -м испытании. Эти события принадлежат одному и тому же пространству элементарных исходов, полученному декартовым произведением бесконечного числа двухэлементных множеств :

Здесь буквами "у" и "н" обозначены успешный и неудачный результаты испытаний соответственно.

Обозначим через число успехов, случившихся в испытаниях схемы Бернулли. Эта величина может принимать целые значения от нуля до в зависимости от результата испытаний. Например, если все испытаний завершились неудачей, то величина равна нулю.

Теорема 1 (формула Бернулли). При любом имеет место равенство:

Доказательство. Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов:

когда первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна . Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых также равна .