Дипломная работа: Схема Бернулли. Цепи Маркова
Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании. Введем величину
со значениями
равную номеру первого успешного испытания.
Теорема 2. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером равна
.
Доказательство. Вероятность первым испытаниям завершиться неудачей, а последнему - успехом, равна
Определение 3. Набор чисел называется геометрическим распределением вероятностей.
Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством "нестарения".
Теорема 3. Пусть для любого
. Тогда для любых неотрицательных целых
и
имеет место равенство:
Если, например, считать величину временем безотказной работы (измеряемым целым числом часов) некоторого устройства, то данному равенству можно придать следующее звучание: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет времени, или от того, сколько уже работает устройство. Общепринятое название этого свойства - свойство отсутствия последействия.
Доказательство. По определению условной вероятности,
| (1) |
Последнее равенство следует из того, что событие влечет событие
поэтому пересечение этих событий есть
. Найдем для целого
вероятность
:
Можно получить еще проще: событие
означает в точности, что в схеме Бернулли первые
испытаний завершились неудачами, т.е. его вероятность равна
. Возвращаясь к (1), получим
Теорема 3 доказана.
1.2.2 Независимые испытания с несколькими исходами
Рассмотрим схему независимых испытаний уже не с двумя, а с большим количеством возможных результатов в каждом испытании.
Пример 1. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.
Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани. Поэтому воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удаcтся.
Попробуем вывести подходящую формулу. Пусть в одном испытании возможны исходов:
, и
-й исход в одном испытании случается с вероятностью
, где
.
Обозначим через вероятность того, что в
независимых испытаниях первый исход случится
раз, второй исход -
раз, и т.д., наконец,
-й исход -
раз.
Теорема 4 (Обобщенная формула Бернулли). Для любого и любых неотрицательных целых чисел
сумма которых равна
верна формула
Доказательство. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению единиц,
двоек и т.д.:
Это результат экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей
. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел
на
местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на
местах
единиц,
двоек, и т.д. Это число равно
Теперь мы можем вернуться к примеру 1 и выписать ответ: вероятность получить десять троек, три единицы и еще два других очка равна