Дипломная работа: Схема Бернулли. Цепи Маркова
так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по , а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) равна
1.2.3 Теорема Пуассона для схемы Бернулли
Предположим, нам нужна вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха . Вероятность этого события равна любому из следующих выражений, вычислить которые довольно сложно:
Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности иметь успехов в большом числе испытаний Бернулли с маленькой вероятностью успеха
. Термин "большое число" должен означать
. Если при этом
остается неизменной, то вероятность получить любое заданное число успехов уменьшается до нуля. Необходимо чтобы вероятность успеха
уменьшалась одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли). Поэтому нам придется рассмотреть так называемую "схему серий": если испытание одно, то вероятность успеха в нем равна
если испытаний два, то вероятность успеха в каждом равна
и т.д. Если испытаний
то в каждом из них вероятность успеха равна
. Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний. Обозначим через
число успехов в
-й серии испытаний.
Теорема 5 (теорема Пуассона). Пусть и
так, что
Тогда для любого
вероятность получить
успехов в
испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха
стремится к величине
Доказательство. Положим . По условию
. Подставим
в формулу Бернулли:
| (2) |
В соотношении (2) мы воспользовались тем, что и замечательным пределом
. Докажем последнее свойство:
Определение 4. Набор чисел называется распределением Пуассона с параметром
.
По теореме 17 можно приближенно посчитать вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха с вычисления которой мы начали. Поскольку
"велико", а
"мало", то, взяв
можно записать приближенное равенство
(3)
Осталось решить, а достаточно ли велико, а
мало, чтобы заменить точную вероятность на ее приближенное значение. Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими вероятностями.
Следующую очень полезную теорему мы, исключительно из экономии времени, доказывать не станем.
Теорема 6 (уточненная теорема Пуассона). Пусть - произвольное множество целых неотрицательных чисел,
- число успехов в
испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха
. Cправедливо неравенство
Таким образом, теорема 6 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли велико, а
мало, руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (3)? Взяв
имеем
Таким образом, можно утверждать, что искомая вероятность заключена в границах .
Пример 2. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.
Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности,
. По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
.
Пример 3. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
Решение. Вероятность рождения девочки , тогда
.
Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:
,
,
,
.
Следовательно, искомая вероятность