Дипломная работа: Связь комбинаторики с различными разделами математики
8) (1) (2,7) (3,6) (4,5)
9) (2) (1,3) (7,4) (5,6)
10) (3) (2,4) (1,5) (6,7)
11) (4) (3,5) (2,6) (7,1)
12) (5) (4,6) (3,7) (2,1)
13) (6) (5,7) (4,1) (2,3)
14) (7) (1,6) (2,5) (3,4),
где 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 – числа, с помощью которых занумерованы вершины семиугольника.
Итак, в группе G имеется:
1 перестановка типа <1, 1, 1, 1, 1, 1, 1>,
6 перестановок типа <7>,
7 перестановок типа <1, 2, 2, 2>.
Слово неподвижно относительно перестановки 
тогда и только тогда, когда буквы, стоящие на местах с номерами из одного цикла в перестановке α, совпадают. Поэтому тождественная перестановка имеет 27 неподвижных точек на М , перестановки второго типа – по 2, а перестановки третьего типа – по 24 . Применяя лемму Бернсайда, получаем
(27 + 6∙2 + 7∙24 ) = 18 .
Итак, из бусин двух цветов можно составить 18 семибусенных ожерелий.
Задача 3. Грани куба можно раскрасить: а) все в белый цвет; б) все в чёрный цвет; в) часть в белый, а остальные в чёрный. Сколько имеется разных способов раскраски?
Решение. 
Грань (1' 4' 5' 8') – 1
Грань (2' 3' 6' 7') – 2
Грань (3' 4' 7' 8') – 3
Грань (1' 2' 5' 6') – 4
Грань (1' 2' 3' 4') – 5
Грань (5' 6' 7' 8') – 6
Рис. 3
а) Вокруг каждой из трёх осей, соединяющих центры противоположных граней, имеется три вращения на углы 
, 
, 
. Им соответствуют перестановки:
1) (1) (2) (5, 4, 6, 3)
2) (1) (2) (4, 3) (6, 5)
3) (1) (2) (5, 3, 6, 4)
4) (3) (4) (1, 6, 2, 5)
5) (3) (4) (1, 2) (6, 5)
6) (3) (4) (5, 2, 6, 1)
7) (5) (6) (1, 3, 2, 4)
8) (5) (6) (1, 2) (3, 4)
9) (5) (6) (4, 2, 3, 1)
б) Вокруг каждой из четырёх диагоналей куба имеется по два вращения. Им соответствуют перестановки:
10) (2, 6, 3) (1, 5, 4)