Дипломная работа: Теория симметрии молекул

2. Таблица Кэли

Подобно тому, как существует таблица умножения натуральных чисел, можно составить таблицу умножения в множестве операций симметрии молекулы. Эта таблица называется таблицей Кэли (или квадратом Кэли). Для того, чтобы понять общий принцип составления таких таблиц, запишем таблицу Кэли для случая множества операций симметрии молекулы аммиака NH₃ (табл. 1).

Таблица 1

Квадрат Кэли группы C_{3 V}

3. Определение группы

Определение 2. Множество G называется группой, если в этом множестве определена бинарная алгебраическая операция, удовлетворяющая следующим аксиомам (в мультипликативной записи операций):

1. Для всех элементов a, b, c из множества G (аксиома ассоциативности).

2. Для всех элементов а из множества G существует элемент e из этого множества, такой, что (е называется единичным элементом группы).

3. Для каждого элемента а для множества G существует элемент а^-1 из этого из этого множества, такой, что (а^-1 называется обратным элементом к элементу а).

Рассмотрев таблицу Кэли для множества C_{3 V} , можно убедиться, что множество операций симметрии молекулы аммиака является группой относительно введенной нами операции умножения в этом множестве.

Определение 3. Подмножество H группы G называется подгруппой группы G, если H само является группой относительно операции, введенной в группе G.

Для проверки того, что H является подгруппой группы G, надо проверить два условия: произведение двух элементов из Н снова принадлежит Н и вместе с элементом h обратный к нему элемент из группы G (он должен существовать) также принадлежит Н. В самом деле, тогда ; ассоциативность же умножения, будучи верной во всей группе G, будет иметь место и в подгруппе Н.

Теорема 1. Множество всех операций симметрии молекулы является группой. Эта группа является подгруппой симметрической группы перестановок фигуры, изображающей геометрическую модель молекулы.

Определение 4. Группой симметрии молекулы называется множество S всех операций симметрии молекулы, на котором введена структура группы относительно умножения операций симметрии молекулы.

4. Гомоморфизмы и изоморфизмы

Определение 5. Отображение множества М в множество N – это правило f, по которому каждому элементу m из множества M ставится в соответствие однозначно определенный элемент mf=n из множества N.

Определение 6. Гомоморфизмом группы G в группу G¢ называется отображение j множества G в множество G¢ такое, что

(1)

В качестве примера рассмотрим группу C_{3 V} и группу {-1}₂ , состоящую всего из двух элементов {-1}₂ ={-1, 1}.

Построим отображение j группы C_{3 V} в группу {-1}₂ (записываем это в виде j: C_{3 V} ®{-1}₂ ) по следующему правилу: элементам , , сопоставим 1, а элементам ,, сопоставим -1. Отображение j построено, причем, как видим, у элемента 1 группы {-1}₂ есть три прообраза, т. е. три элемента группы C_{3 V} , образом каждого из которых является 1: у элемента –1 также три прообраза – это не запрещено определением отображения.

Покажем теперь, что j есть гомоморфизм. Из таблицы Кэли группы C_{3 V} видно, что произведение любых двух элементов множества C₃ ={, , } принадлежит этому же множеству, в то же время . Из этой таблицы видно, что , i, j=1, 2, 3 принадлежит множеству C₃ , но с другой стороны, . Наконец, произведения и , i, j=1, 2, 3 принадлежат множеству , с другой стороны , . Таким образом для любых двух операций симметрии и из множества C_{3 V} получаем, что , где , , есть 1 или –1, т. е. отображение j, действительно есть гомоморфизм.

Определение 7. Отображение f множества М в множество N называется взаимно однозначным отображением множества М на множество N, если каждый элемент множества N является образом в точности одного элемента множества M.

Определение 8. Две группы G и G¢ называются изоморфными (обозначение G@G¢), если существует взаимно однозначное отображение q группы G на группу G¢ такое, что

(2)

Свойства группы или других математических объектов, сохраняющиеся при изоморфизме, называются структурными свойствами. Приведем два примера структурных свойств групп, которым предшествуют два важных определения.

Определение 9. Если группа G содержит конечное число элементов, то число n элементов группы называется порядком группы и обозначается n=|G|.

Например, |C_{3 V} |=6; |{-1}₂ |=2.

Определение 10. Группа называется абелевой или коммутативной, если для всех элементов a и b этой группы выполняется равенство ab=ba.

Так, группа {-1}₂ является абелевой, а группа C_{3 V} не абелева.