Дипломная работа: Теория симметрии молекул
Пусть дана группа G и два подмножества M и N множества G.
Определение 1. Произведением подмножеств М и N группы G называется множество MN, состоящее из всевозможных произведений mn, где m пробегает множество M, а n – множество N.
Теорема 1. Произведение АВ двух подгрупп А и В группы G будет подгруппой группы G, если А и В перестановочны, т. е. если АВ=ВА.
Рассмотрим примеры. В группе C3 V перемножим подгруппы {
}3 и {
}2 . Используя таблицу Кэли для C3 V , получаем, что C3 V факторизуема: C3 V ={}3 {}2 . По таблице Кэли группы C3 V находим {}2 {
}2 ={
, , 
, 
}. Но это не подгруппа группы C3 V . Следовательно, согласно теореме должно выполняться неравенство {}2 {}2 ¹{}2 {}2 . Действительно, перемножая, получим
{}2 {}2 ={, 
, , }.
Определение 2. Группа G называется прямым произведением подгруппы А и В, если элементы подгрупп А и В перестановочны: ab=ba, "aÎA, "bÎB и каждый элемент gÎАВ однозначно представляется в виде произведения g=ab. Обозначается прямое произведение подгруппы как G=A´B.
Определение 3. Подгруппа Н группы G называется циклической, порожденной элементом h, если все ее элементы являются степенями элемента h. Если же сама группа G совпадает со своей циклической подгруппой, то она называется циклической группой.
Элементом симметрии называется вспомогательный геометрический образ, характеризующий циклическую группу преобразования симметрии.
Теорема 2. Каждая конечная абелева группа G является прямым произведением конечных циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел.
Определение 4. Множество элементов a, b, c… группы G называется системой образующих групп G, если каждый элемент группы может быть представлен в виде произведения степеней элементов указанного множества
ak bl cm …=g.
Например, для циклической группы {}3 образующим элементом или генератором группы является элемент . У группы C3 V два образующих элемента: и , в чем можно убедиться, рассматривая факторизацию C3 V ={}3 ´{}2 .
Определение 5. Соотношения вида
ap bq cr …=e,
связывающие образующие элементы группы G, называются ее определяющими соотношениями.
Совокупность всех образующих элементов и определяющих соотношений, полностью описывающих группу, называется генетическим кодом группы.
Например, группа {}3 задается одним образующим элементом и одним определяющим соотношением 
=. Группа C3 V задается двумя образующими и и определяющими соотношениями между ними вида
=, 
=, = (9)
Последнее соотношение после умножения его на можно записать в стандартном виде =. Именно способом задания группы объясняется обозначение группы C3 V , так как операции симметрии и при определенных соотношениях между ними определяют группу C3 V . Чтобы получить таблицу Кэли группы C3 V , надо было пользоваться геометрической моделью молекулы NH3 . Зная же систему (9) определяющих соотношений, можно, например, найти, чему равно 
, если известно произведение 
. В самом деле, так как =, то умножая справа на 
, имеем 
=. Факторизация группы также значительно облегчается при задании группы с помощью генетического кода. Например, в полупрямом произведении C3 V ={
}3 ´{}2 соотношение =
задает автоморфизм групп