Дипломная работа: Высшая математика для менеджеров

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b ) = 0 и [ab ] = 0, в частности, [aa ] = 0. Векторные произведения ортов: [ij ] = k, [jk ] = i , [ki ] = j .

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a (a₁ , a₂ , a₃ ), b (b₁ , b₂ , b₃ ), то

[ab ] = =`i (a<sub>2</sub> b<sub>3</sub> - a<sub>3</sub> b<sub>2</sub> ) - `j (a₁ b₃ - a₃ b₁ ) + `k (a₁ b₂ - a₂ b₁ ).

Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.

Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами a (a₁ , a₂ , a₃ ), b (b₁ , b₂ , b₃ ), c (c₁ , c₂ , c₃ ), то

abc = .

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка a, b, c - левая, то a b c <0 и V = - a b c , следовательно V = êa b c ê.

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом а ^о . Символом r =ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или êа ê, êАВ ê обозначаются модули векторов а и АВ.

Пример 1.1 . Зная векторы a и b, на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне a .

Решение. Обозначим AB =a, AC =b , CD =h , где CD ^a , D-основание перпендикуляра, опущенного из точки C на сторону a. По правилу сложения векторов имеем: b + h = AD , h = AD - b. Поскольку AD çç a , то AD = l a .

Найдем значение l, используя ортогональность векторов a и h : ah =0 или a (l a-b )= 0, откуда l = ab /a ² . Следовательно, h = (ab /a ² ) a - b .

А B

b h a

C D

Рис. 1

Пример 1.2. Найдите угол между векторами a = 2m +4n и b = m-n , где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120^о .

Решение . Имеем: cos j = ab /ab, ab = (2m +4n ) (m-n ) = 2 m ² - 4n ² +2mn = = 2 - 4+2cos120^o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a ² = (2m +4n ) (2m +4n ) = = 4 m ² +16mn +16 n ² = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = . b = ; b ² = = (m-n )(m-n ) = m ² -2mn + n ² = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = . Окончательно имеем: cos j == -1/2, Þ j = 120^o .

Пример 1.3. Зная векторы AB (-3,-2,6) и BC (-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.

Решение . Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим: S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC= = = 6, S = 1/2 çAB ´ AC ç . AC=AB+BC , значит, вектор AC имеет координаты AC (-5,2,10). AB ´ AC = = i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) = = -16(2`i +`k ). çAB ´ AC ç = = 16; S = 8, откуда AD = =.

Пример 1.4 . Даны два вектора a (11,10,2) и b (4,0,3). Найдите единичный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой.

Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного правого ортонормированного базиса через x, y, z.

Поскольку c ^ a, c ^ b , то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется, чтобы c = 1 и a b c >0.

Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x² + y² + z² = 0.

Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x² = 36/125, откуда x = ± . Используя условие a b c > 0, получим неравенство

> 0 или 5(6x-5y-8z) > 0.

С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = , y = -, z =-.

2. Линии на плоскости

При чтении экономической литературы приходится иметь дело с большим количеством графиков. Укажем некоторые из них.

Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.