Теперь, когда мы знаем обе составляющие скорости в точке N: одну по направлению ОN, равную υ (см/с), и другую, к ней перпендикулярную, равную πON/30 (см/с), остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения и вместе с тем определит направление касательной NТ к спирали в данной точке [20].

Наша следующая кривая — равноугольная, или логарифмическая, спираль — устроена хитроумнее, чем спираль Архимеда. Изучать ее первым начал Декарт (1638 г.), независимо от него с ней работал Торричелли, а в конце XVII века многие замечательные свойства логарифмической кривой, о которых сейчас пойдет речь, установил Якоб Бернулли. Эти почти мистические свойства произвели на ученого столь сильное впечатление, что он завещал высечь на своем надгробии слова: «Еаdemmutateresurgo» (измененная, я воскресаю той же).

Равноугольную спираль (рис.7) можно, определить как геометрическое место точек Р, движущихся и плоскости так, что касательная в точке Р образует постоянный угол а с радиус-вектором ОР, проведенным в точку Р из неподвижного полюса О. Дифференциальное исчисление позволяет легко и просто вывести уравнение логарифмической спирали. Наиболее естественно записывать его в полярных координатах (r, θ), в которых оно принимает изящный вид:

г = ае^{θ ctg a} ,

где е—фундаментальная постоянная, используемая как основание натуральных логарифмов, а а—значение г при θ == 0.

Одно из основных свойств равноугольной спирали мы получим, если обратимся к наиболее характерному свойству показательной функции e^х — соотношению e^{p + q} == е^р е^q .

Предположим, что точки Р, Q, R ... размещены на спирали через равные угловые промежутки (все углы QОР, RОQ, ... равны одной и той же величине β). Тогда OQ/ ОР == е^{β ctg a} == OR/OQ = ..., поэтому в треугольниках ОРQ, OQR, ... углы при вершине О равны и отношение сходственных сторон остается неизменно. По теореме из «Начал» Евклида все эти треугольники подобны. Следовательно, углы ОQР, ОRQ, ... равны. Пользуясь одним лишь этим свойством, можно доказать, что касательная в любой точке Р логарифмической спирали образует постоянный угол с радиус-вектором ОР.

Пусть Р и Q — любые две точки логарифмической спирали, причем ОР> OQ. Предположим, что в полюс О мы воткнули булавку и всю спираль можно поворачивать вокруг точки О. Если повернуть спираль так, чтобы прямая OQ совпала с прямой ОР, то растяжение спирали (полюс О остается неподвижным), переводящее точку Q в точку Р, отобразит каждую точку повернутой спирали на соответствующую точку исходной спирали.

А теперь перечислим некоторые свойства равноугольной спирали, столь глубоко поразивших Якоба Бернулли.

Если луч света, испущенный источником в точкеО, отражается от равноугольной спирали в точке Р, то огибающей отраженных лучей, когда точка Р опишет всю кривую, будет спираль, в точности повторяющая исходную. Это означает, что каустикой равноугольной спирали служит такая же равноугольная спираль. В каждой точке равноугольной спирали существует перпендикуляр к касательной, называемый, как и в случае других кривых, нормалью. Огибающей нормалей также служит равноугольная спираль, совпадающая по форме с исходной спиралью. Подера равноугольной спирали относительно полюса 0 (то есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки О на касательные к кривой) имеет форму исходной равноугольной спирали [20].

Существует вполне простой способ построения эволюты любой заданной кривой: нужно лишь туго навить на кривую нить, к концу которой прикреплен карандаш и, разматывая эту нить, следить за тем, чтобы она оставалась натянутой. Конец карандаша опишет эволюту. Эта кривая замечательна тем, что огибающая ее нормалей совпадает с исходной кривой!

Многие из описанных нами огибающих сравнительно недавно привлекли внимание художников. Произведения с их изображениями часто продают по весьма высоким ценам. Работа, выполненная цветными нитками на куске тонкого картона, позволяет зрителю погрузиться в глубины трансцендентных размышлений. Математическое вышивание было введено в женских школах примерно сто лет назад, и ныне его все шире ставят на коммерческую основу. Недавно появившийся прибор для вычерчивания эпициклов пользовался огромным успехом. Можно не сомневаться в том, что кривые навсегда останутся одним из наиболее интересных творений математики.

Итак, знание геометрических законов природы имеет огромное практическое значение. Мы должны не только научиться понимать эти законы, но и заставлять служитьих нам на пользу.

1.3 Сущность геометрических построений

Развитие статических и динамических представлений детей относятся к числу важнейших задач обучения в школе. Сознавая это, учитель старается использовать богатые возможности курса черчения для постановки и решения различных пространственных задач в процессе графической подготовки учащихся. Немаловажную роль в расширении и продуктивном развитии пространственных представлений играют геометрические построения [8;12].

Деление окружности на равные части, достаточно распространенное геометрическое построение, основывается на законах симметрии, а именно является примером поворотной симметрии [1;7].

Деление окружности на восемь равных частей .

Деление окружности на восемь равных частей производится в следующей последовательности (рис.8):

Проводят две перпендикулярные оси, которые пересекая окружность в точках 1, 2, 3, 4 делят ее на четыре равные части;

Применяя известный прием деления прямого угла на две равные части при помощи циркуля или угольника строят биссектрисы прямых углов, которые, пересекаясь с окружностью в точках 5, 6, 7, и 8 делят каждую четвертую часть окружности пополам.

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей .

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей выполняется в следующей последовательности (рис.9):

Выбираем в качестве точки 1, точку пересечения осевой линии с окружностью.

Из точки 4 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 2 и 3; Точки 1, 2 и 3 делят окружность на три равные части;