Математика / Доклад: Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени

Доклад: Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение(http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

А ⁿ + В ⁿ = С ⁿ /1/

где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

А ⁿ = С ⁿ -В ⁿ /2/

Пусть показатель степени n =2 m . Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:

А² ^m = С² ^m –В² ^m /3/

Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах)

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

С² =А² + В² , /4/

где: С – гипотенуза; А и В – катеты.

Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А , В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.

Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /4/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.

Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /4/ запишем следующим образом:

А² = С² –В² /5/

Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.

Уравнение /5/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С . Уравнение /5/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

А² =( C - B )∙( C + B ) /6/

Используя метод замены переменных, обозначим:

C - B = M /7/

Из уравнения /7/ имеем:

C = B + M /8/

Из уравнений /6/, /7/ и /8/ имеем:

А² = M ∙ ( B + M + B )= M ∙(2 B + M ) = 2 BM + M ² /9/