Доклад: Множини і відношення
Дві множини A і B називаються рівними (записується A =B ), якщо вони складаються з тих самих елементів.
Множина A називається підмножиною множини B (записується A ÍB або B ÊA ) тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B . Кажуть також, що множина A міститься у множині B . Знаки Í і Ê називаються знаками включення .
Неважко переконатись, що A =B тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення: A ÍB і B ÍA . Крім того, якщо A ÍB і B ÍC , то A ÍC . Останні два факти часто використовуються при доведенні тверджень про рівність двох заданих множин.
Якщо A ÍB , однак A ¹B , то пишуть A ÌB і називають множину A власною (строгою або істинною ) підмножиною множини B . Знак Ì (або É), на відміну від знака Í (або Ê), називається знаком строгого включення .
Очевидно, що для будь-якої множини A виконується A ÍA . Крім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A , тобто ÆÍA (зокрема, ÆÍÆ).
Слід чітко розуміти різницю між знаками Î і Í і не плутати ситуації їхнього вживання. Якщо {a }ÍM , то a ÎM , і навпаки.
Однак із включення {a }ÍM , взагалі кажучи, не випливає {a }ÎM . Для будь-якого об’єкта x виконується x ÏÆ. Наприклад, для множини D (1.1) і її елементів виконуються такі співвідношення: {a ,b }ÎD , {{a ,b },{b ,c }}ÍD , a Î{a ,b }, {c }Ï{a ,c }, {a }Í{a ,b }.
4. Операції над множинами та їхні властивості
Для множин можна ввести ряд операцій (теоретико-множинних операцій), результатом виконання яких будуть також множини. За допомогою цих операцій можна конструювати із заданих множин нові множини.
Нехай A і B деякі множини.
а) Об’єднанням множин A і B (позначається A ÈB ) називається множина тих елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B . Символічно операція об’єднання множин записується так
A ÈB = { x | x ÎA або x ÎB } або x ÎA ÈB Û
Приклад 1.3. {a ,b ,c } È {a ,c ,d ,e } = {a ,b ,c ,d ,e }.
б) Перетином множин A і B (позначається A ÇB ) називається множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B одночасно. Тобто
A ÇB = { x | x ÎA і x ÎB } або x ÎA ÇB Û
Приклад 1.4. {a ,b ,c }Ç{a ,c ,d ,e } = {a ,c },
{a ,b ,c }Ç{d ,e } = Æ.
Кажуть, що множини A і B не перетинаються , якщо A ÇB = Æ.
Операції об’єднання та перетину множин можуть бути поширені на випадок довільної сукупності множин {Ai | i ÎІ }. Так об’єднання множин Ai (записується Ai ) складається з тих елементів, які належать хоча б одній з множин Ai даної сукупності. А перетин множин A (записується Ai ) містить тільки ті елементи, які одночасно належать кожній з множин Ai .
в). Різницею множин A і B (записується A \B ) називається множина тих елементів, які належать множині A і не належать множині B . Отже,
A \ B = { x | x ÎA і x ÏB } або x ÎA \ B Û
Приклад 1.5. {a ,b ,c } \ {a ,d ,c } = {b },
{a ,c ,d ,e } \ {a ,b ,c } = {d ,e },
{a ,b } \ {a ,b ,c ,d } = Æ.
г). Симетричною різницею множин A і B (записується A DB , A ÅB або A ¸B ) називається множина, що складається з усіх елементів множини A , які не містяться в B , а також усіх елементів множини B , які не містяться в A . Тобто
A DB = { x | ( x ÎA і x ÏB ) або ( x ÎB і x ÏA )} або x ÎA DB Û
Приклад 1.6. {a ,b ,c }D{a ,c ,d ,e } = {b ,d ,e },
{a ,b }D {a ,b } = Æ.
Введені теоретико-множинні операції можна проілюструвати діаграмою (рис.1.1).