Доклад: Множини і відношення

Доведемо спочатку, що

ÍÇ. (1.6)

Нехай елемент x Î, тоді x ÎE \ (A ÈB ), тобто x ÏA і x ÏB , звідси x Î і x Î, отже, x ÎÇ. Таким чином, має місце ÍÇ.

Доведемо обернене включення

ÇÍ. (1.7)

Припустимо x ÎÇ, це означає, що x Î і x Î, тобто x ÏA і x ÏB , звідси x ÏA ÈB , отже x Î. Зі справедливості обох включень (1.6) і (1.7.) випливає істинність рівності (1.5).

Аналогічно можуть бути доведені всі інші наведені теоретико-множинні тотожності. Ці тотожності дозволяють спрощувати різні складні вирази над множинами.

Приклад 1.9. Послідовно застосовуючи тотожності з (1.2) і (1.3), маємо

(A ÇB ÇC Ç)È(ÇC )È(ÇC )È(C ÇD ) = (A ÇB ÇC Ç)È((ÈÈD )ÇC ) = = ((A ÇB Ç) È ())ÇC = E ÇC = C .

5. Декартів (прямий) добуток множин

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим ) добутком множин A і B (записується A ´B ) називається множина всіх пар (a ,b ), в яких перший компонент належить множині A (a ÎA ), а другий - множині B (b ÎB ).

Тобто

A ´B = {(a ,b ) | a ÎA і b ÎB } або (a ,b )ÎA ´B Û

Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A ₁ , A ₂ ,..., A_n - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина

D = { (a ₁ ,a ₂ ,...,a_n ) | a ₁ ÎA ₁ , a ₂ ÎA ₂ ,..., a_n ÎA_n },

яка складається з усіх наборів (a ₁ ,a ₂ ,...,a_n ), в кожному з яких i -й член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору, належить множині A_i , i =1,2,...,n . Декартів добуток позначається через A ₁ ´A ₂ ´...´A_n .

Набір (a ₁ ,a ₂ ,...,a_n ), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a ₁ ,a ₂ ,...,a_n , записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем , вектором або впорядкованим набором . Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a ₁ ,a ₂ ,...,a_n ) і (b ₁ ,b ₂ ,...,b_n ) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a_i =b_i , i =1,2,...,n . Отже, кортежі (a ,b ,c ) і (a ,c ,b ) вважаються різними, в той час як множини {a ,b ,c } і {a ,c ,b } - рівні між собою.

Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A ´A ´...´A називають n-м декартовим (або прямим ) степенем множини A і позначають Aⁿ .

Прийнято вважати, що A ⁰ = Æ (n =0) і A ¹ = A (n =1).

Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a ,b } і B = {b ,c ,d }, то

A ´B = {(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,b ),(b ,c ),(b ,d )},

A ² = {(a ,a ),(a ,b ),(b ,a ),(b ,b )}.

2. Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R ² - це множина пар (a ,b ), де a ,b ÎR , або множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

3. Скінченна множина A , елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом . Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A . Множина всіх слів в алфавіті A - це множина

A ^* = {e } ÈA ÈA ² ÈA ³ È... = {e }ÈAⁱ ,

де e - порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A .

Замість запису слів з Aⁿ у вигляді кортежів (a ₁ ,a ₂ ,...,a_n ) частіше використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності символів a ₁ a ₂ ...a_n , a_j ÎA , j =1,2,...,n . Наприклад, 010111, 011, 0010, 100, 010 - слова в алфавіті B = {0,1}, а 67-35, -981, (450+12)/27, 349*2+17 - це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.

Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A ´B )´C і A ´(B ´C ), а також множини A ´B і B ´A , взагалі кажучи, нерівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями: