Доклад: Множини і відношення
(A ÇB ) ´C = (A ´C )Ç(B ´C ),
A ´ (B ÈC ) =(A ´B ) È (A ´C ), (1.8)
A ´ (B ÇC ) =(A ´B )Ç(A ´C ).
Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією ) кортежу w =(a 1 ,a 2 ,...,an ) називається i -а координата ai кортежу w , позначається Pri (w ) = ai .
Проекцією кортежу w =(a 1 ,a 2 ,...,an ) на осі з номерами i 1 ,i 2 ,...,ik називається кортеж (ai 1 ,ai 2 ,...,aik ), позначається Рri 1 ,i 2 ,...,ik (w ) = (ai 1 ,ai 2 ,...,aik ).
Нехай V - множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i -у вісь (позначається Pri V ) називається множина проекцій на i -у вісь усіх кортежів множини V :
Pri V = { Pri (v ) | v ÎV }.
Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:
Pri 1 ,i 2 ,...,ik V = { Pri 1 ,i 2 ,...,ik (v ) | v ÎV }.
Приклад 1.10. Pri 1 ,i 2 ,...,ik ( A 1 ´A 1 ´...´An ) = Ai 1 ´Ai 2 ´... ´Aik .
Якщо V ={(a ,b ,c ),(a ,c ,d ),(a ,b ,d )}, то Pr1 V ={a }, Pr2 V ={b ,c }, Pr2 ,3 V ={(b ,c ),(c ,d ), (b ,d )}.
6. Відповідності, функції і відображення
Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина C ÍA ´B .
Якщо (a ,b )ÎC , то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C .
Поняття віповідності можна проілюструвати за допомогою так званого графіка відповідності . Нехай A ={1,2,3,4,5} і B ={a ,b ,c ,d }, а C = {(1,a ),(1,d ),(2,с), (2,d ),(3,b ),(5,а),(5,b )} - відповідність між A і B . Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a ,b ,c ,d - горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.2). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності C .
Рис.1.2.
Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну координатну площину R 2 =R ´R, то маємо такі відповідності C 1 ={(x ,y ) | x 2 + y 2 = 1}, C 2 = {(x ,y ) | y = x 2 }, C 3 = {(x ,y )| |x| £1, |y| £1}. Графіком відповідності C 1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат, графіком C 2 - квадратична парабола, а графіком C 3 - всі точки квадрата з вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).
Припустимо, що C ÍA ´B деяка відповідність.
Множина Pr1 C називається областю визначення , а множина Pr2 C - областю значень відповідності C (інші позначення - dС і rС відповідно).
Якщо Pr1 C =A , то відповідність C називається всюди або повністю визначеною . В противному разі відповідність називається частковою .
Образом елемента a ÎPr1 C при відповідності C називається множина всіх елементів b ÎPr2 C , які відповідають елементу a .
Прообразом елемента b ÎPr2 C при відповідності C називається множина всіх тих елементів a ÎPr1 C , яким відповідає елемент b .
Якщо A ÍPr1 C , то образом множини A при відповідності C називається об’єднання образів усіх елементів з A . Аналогічно означається прообраз деякої множини B ÍPr2 C .
Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об’єднання, перетин, різниця тощо.
Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.
Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B , називається відповідність D між множинами B і A така, що
D ={(b ,a ) | (a ,b )ÎC }. Відповідність, обернену до відповідності C , позначають C -1 .
Якщо задано відповідності C ÍA ´B і D ÍB ´F , то композицією відповідностей C і D (позначається C °D ) називається відповідність H між множинами A і F така, що
H = { (a ,b )| існує елемент c ÎB такий, що (a ,c )ÎC і (c ,b )ÎD }.
Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.
Відповідність f ÍA ´B називається функціональною відповідністю або функцією з A в B , якщо кожному елементові a ÎPr1 f відповідає тільки один елемент з Pr2 f , тобто образом кожного елемента a ÎPr1 f є єдиний елемент з Pr2 f . Якщо f - функція з A в B , то кажуть, що функція має тип A ®B і позначають f :A ®B або A B . Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R 2 = R ´R або функціями типу R ®R .