Доклад: Множини і відношення

Тоді A ÈB - складається з точок областей І, ІІ, ІІІ,

A ÇB - це область ІІ,

A \ B - область І,

B \ A - область ІІІ,

A DB - області І і ІІІ.

Рис. 1.1.

д). У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U ). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R , у вищій алгебрі - множину комплексних чисел C , в арифметиці - множину цілих чисел Z , в традиційній планіметрії - множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об’єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

Якщо зафіксована універсальна множина E , то доповненням множини A (яке є підмножиною універсальної множини E ) - записується - називається множина всіх елементів універсальної множини, які не належать множині A .

Тобто

= { x | x ÎE і x ÏA } або x ÎÛx ÏA .

Неважко помітити, що = E \ A .

Приклад 1.7. Якщо за універсальну множину прийняти множину N всіх натуральних чисел, то доповненням множини P всіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних натуральних чисел.

Зазначимо у вигляді тотожностей властивості введених вище теоретико-множинних операцій.

1. Асоціативність (A ÈB ) ÈC = A È (B ÈC ); (A ÇB )ÇC = A Ç(B ÇC ).

2. Комутативність A ÈB = B ÈA ; A ÇB = B ÇA .

3. Дистрибутивність A Ç(B ÈC )=(A ÇB )È(A ÇC ); A È(B ÇC )=(A ÈB )Ç(A ÈC ),

4. Ідемпотентність A ÈA = A ; A ÇA = A . (1.2)

5. Інволютивність = A .

6. Правила (закони) де Моргана = Ç; = È.

Зазначимо, що правила де Моргана припускають узагальнення для сукупності множин:

; .

Наведемо ще ряд корисних теоретико-множинних тотожностей:

A ÈÆ = A , A ÇÆ = Æ;

A ÈE = E , A ÇE = A ;

A È = E , A Ç = Æ; (1.3)

= Æ, = E .

Окремо запишемо властивості операції симетричної різниці:

A DB = (A \B ) È (B \A ) = (A ÈB ) \ (A ÇB ) = (A Ç) È (ÇB ),

(A DB )DC = A D(B DC ) (асоціативність),

A DB = B DA (комутативність) (1.4)

A Ç(B DC ) = (A ÇB )D(A ÇC ) (дистрибутивність відносно перетину),

A DA =Æ, A DE = , A DÆ = A .