Книга: Машинна імітація випадкових параметрів

Тому успішне застосування методу Монте-Карло можливе лише тоді, коли створювані генератором числа будуть випадковими , рівномірно розподіленими на відрізку [0, 1] і незалежними . Зрозуміло, що за своїми конструктивними особливостями програмні датчики не можуть відтворювати випадкові числа, які повністю задовольняють перелічені вимоги. Проте для практичних цілей буває достатньо, щоб послідовність РВП [0, 1] приблизно відповідала вимогам ідеального генератора. Таке припущення перевіряється з допомогою спеціальних статистичних тестів. При цьому виконуються дві передумови.

1.Генератор псевдовипадкових чисел вважається придатним для використання, якщо він витримує набір наперед установлених тестів.

2.Якість випадкових чисел перевіряється лише один раз на попередньому етапі побудови імітаційної моделі.

Розроблено чимало тестів, котрі дають змогу оцінювати якість випа­дкових чисел. Серед них є загальновідомі статистичні методи перевірки гіпотез (перевірка відповідності розподілів за критеріями Пірсона або Колмогорова, виявлення кореляційної залежності між серіями випадкових чисел — автокореляції ), а також і спеціально розроблені для методу Монте-Карло критерії.

Розглянемо кілька спеціальних тестів перевірки якості випадкових чисел. Особливість їх застосування полягає в тому, що генератор РВП [0,1] вважають за можливе використовувати лише в тому разі, коли він одночасно відповідає всім вибраним тестам (перевірка датчика припиняється, тільки-но він не відповідає черговому тесту). При цьому багато рішень щодо відповідності датчика тому чи іншому тесту експериментатор приймає на інтуїтивному рівні, спираючись на власний досвід таких досліджень.

Перевірка за моментами розподілу

Для ідеального генератора рівномерно розподілених випадкових чисел математичне сподівання їх дорівнює Ѕ, а дисперсія дорівнює 1/12.

Перевірка на рівномірність за гистограмою

Розіб"ємо відрізок [0,1] на n рівних частин. Кожне з чисел x_i потрапить на один з таких відрізків. Нехай m₁ – кількість випадкових чисел, що потрапили на перший відрізок, m₁ – на другий і т.д. При цьому

m₁ +m₂ +... +m_n = N/

Обчислимо відносні частоти потрапляння випадкових чисел на кож­ний із відрізків

p₁ =m₁ /N; p₂ =m₂ /N; … p_n =m_n /N,

а далі для перевірки рівномірності псевдовппадкових чисел будується гістограма.

Якщо випадкові числа рівномірні, то для достатньо великих N гісто­грама (ламана лінія) має наближатися до теоретичної прямої у = 1/n.

Число розбиттів n має бути не дуже малим, щоб можна було перевірити локальну рівномірність. Водночас і дуже велике n нас не задовольняє, оскільки потрібно буде багато випадкових чисел (N на два — три порядки більше за n ). На практиці n беруть таким, що задовольняє нерівність 20 <= n <= 50.

Перевірка зa посередніми ознаками

Дивись [1, с. 55].

Перевірка на періодичність

Якщо серед множини програмне утво­рюваних випадкових чисел x₀ ,x₁ ,x₂ , ....x_l-1 немає однакових, а x_l збіга­ється з одним зі створених раніше чисел, то L називається відрізком аперіодичності . Очевидно, що L<=2^k . При дослідженні генератора випадкових чисел необхідно установити довжину відрізка аперіодичності. Якщо число необхідних для експериментів випадкових чисел менше за довжину відрізка аперіодичності L, то датчик можна використовувати. У противному разі довжину відрізка аперіодичності слід збільшити, застосувавши різні штучні прийоми, зокрема змінивши початкове число x₀ або використавши інший генератор.

Перевірка на випадковість

Дивись [1, с. 57].

Перевірка генератора в "роботі"

Досить надійним методом уста­новлення якості випадкових чисел е перевірка генератора РВП [0,1] в «роботі». Згідно з цим методом складають імітаційну модель, результат роботи якої може бути передбачений теоретично. Порівнюючи експеріментальний, здобутий за допомогою ЕОМ, і теоретичний результати, можна зробити висновки щодо придатності генератора випадкових чисел.

Для ілюстрації такого підходу перевірки якості випадкових чисел розглянемо описану далі гру. Стрілець стріляє по мішені. Якшо він у неї влучить, то отримає виграш 9 грн., а якщо промахнеться — заплатить штраф у розмірі 1 грн. Імовірність влучити в мішень становить 0,05.

Величина виграшу с випадковою величиною з таким розподілом:

Виграш	9	- 1
Імовірність	0,05	0,95

Математичне сподівання виграшу за один постріл подається у вигляді

m_x =9*0,05 + (-1)*0,95=-0,5.

Перевіримо якість випадкових чисел, наведених у табл.Д1. ([3] Таблиця випадкових цифр). Для цьо­го, склавши імітаційну модель гри, математичне сподівання виграшу оці­нюватимемо за допомогою середнього арифметичного значення виграшу 440 пострілів.

Умовимося, що влучення в ціль імітується відношенням x<=0,05, а промах — x >0,95. Із 440 пострілів (440 випадкових чисел таблиці) маємо 21 влучення. Середній виграш