Математика / Книга: Побудова простих великих чисел

Книга: Побудова простих великих чисел

Дійсно, те, що (1) =>(2) й (1)=>(3) , очевидно.

Доведемо, що (3)=>(2) . Нехай . За умовою для кожного знайдеться таке, що , але не ділить число .

Отже, . Отже, знайдуться елементи , такі, що . Тепер елемент буде шуканим, тому що порядки елементів взаємно прості й

Теорема Люка дозволяє довести простоту числа у випадку, коли відоме розкладання на прості співмножники числа

Для цього можна використати детермінований алгоритм, заснований на переборі всіх можливих значень , або скористатися таким імовірнісним методом:

1) обираємо випадкові числа й перевіряємо для них умову (1);

2) якщо умова (1) виконана хоча б для одного із цих чисел, то просте, якщо ні, то відповідь невідома.

Аналогічний метод можна побудувати, використовуючи умову (3).

Проілюструємо цей метод стосовно до чисел Ферма.

Числами Ферма називають числа виду (Покажіть, що число виду може бути простим у тому і тільки в тому випадку, коли .)

Ферма висловлював припущення, що всі числа такого виду – прості. При це дійсно так. Але при , як показав Ейлер в 1732 р., справедливе розкладання

В 1878р. Іван Михейович Первушин показав, що числа й також не є простими. (Зазаначимо, що число має 2525223 цифри. При відтворенні такого числа знадобився б рядок довжиною в 5 км або книга об'ємом 1000 сторінок).

Теорема 2 . (Пепін, 1877 ).

Числа при є простими в тому і тільки в тому випадку, коли виконується умова

Доведення. Оскільки єдиним простим дільником число є 2 , то достатньо перевірити умову теореми Люка при . Покажемо, що як число можна взяти число 3, тобто достатньо перевірити умову Використовуючи формулу Ейлера для обчислення значень квадратичних лишків і квадратичний закон взаємності Гаусса отримуємо, що при простому має бути

Тепер зазаначимо, що , і тому умова рівносильна рівності Теорема доведена.

Теорема Люка послужила відправним пунктом для побудови цілої групи тестів, що дозволяють перевіряти простоту числа. Багато хто з них отримали назву - методів, тому що припускають знання повної або часткової факторизації числа .

Ще одне узагальнення теореми Люка засновано на розгляді інших груп замість мультиплікативної групи . Фактично, доказ простоти числа в теоремі Люка засновано на вивченні властивостей групи : якщо будь-яким чином вдається встановити, що її порядок дорівнює , то число – просте.

Дана ідея лежить в основі таких методів, як метод еліптичних кривих і метод числового поля.

Теорема Поклінгтона.

В 1914 р., Х. Поклінгтоном була доведена наступна теорема.

Теорема 3. (Поклінгтон). Нехай , де – просте, що не є дільником . Якщо існує ціле таке, що й , то кожен простий дільник числа має вигляд при якомусь .

Доведення. Нехай – простий дільник числа . Тоді з умови теореми
випливає, що й . Звідси отримуємо, що порядок елемента за модулем задовольняє умови: і не ділить . Тому . У силу малої теореми Ферма . Отже, . Теорему доведено.