Контрольная работа: Алгоритми і методи обчислення

Так, задача 1 звелася до розв'язування квадратного рівняння, яке може відображувати характеристичне рівняння не тільки фізичного, але й математичного маятника, маси, яка з'єднана пружиною з корпусом (лінійного акселерометра), гіроскопічного тахометру і т. і.

Диференційне рівняння (5) у задачі 2 може бути моделлю і для багатьох інших задач (вивчення змінювання швидкості тіла у в'язкому середовищі, змінювання електричного струму у найпростішому електричному ланцюзі, змінювання швидкості репродукції бактерій тощо).

Задля розв'язування задачі 3 потрібно обчислити низку визначених інтегралів. До обчислення визначених інтегралів приходять і при відшукуванні площ складних фігур, об'єму тіла або дуги плоскої кривої, розрахунках роботи змінної сили й у багатьох інших фізичних задачах.

Математична модель (7) задачі 4 може описувати не тільки поводження гіроскопу, але й будь-якої іншої системи, якщо диференційні рівняння руху останньої збігаються з рівняннями (6).

1.5.1 Побудова обчислювальної моделі

Побудова обчислювальної моделі може здійснюватися різними методами, які можна поділити на точні й наближені. Точні методи - це такі, які після скінченої кількості дій (обчислень) приводять до точного результату за умови, що обчислення здійснюються без похибок. Наближеними називають такі методи, які за тих же умов дозволяють одержати результат лише з деякою похибкою.

При використанні точних методів етап досліджування математичної моделі поділяється на такі підетапи:

1) відшукування точного розв'язку математичної моделі;

2) підставляння вихідних даних у знайдений точний розв'язок і реалізація передбачених ним обчислень.

Наприклад, для розв'язування задачі 1 краще використати точний метод, тобто формулу

(1.8)

(припускається, що ), але можна застосовувати й наближені способи відшукування коренів квадратного рівняння.

Диференційне рівняння (5) задачі 2 краще розв'язувати, розділяючи змінні, тобто приводячи його до вигляду

. (1.9)

Однак, його можна розглядати і як лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами, або розв'язувати (інтегрувати) наближеними чисельними методами.

При розв'язуванні задачі 3 слід використовувати методи наближеного обчислення визначених інтегралів.

Задачу 4 також можна розв'язувати двома шляхами. Розглядаючи систему диференційних рівнянь (6) як вихідну математичну модель, можна, з одного боку, знайти точний її розв'язок (7), а потім здійснити підставляння значень вихідних даних і дійти явних залежностей і , а отже, й . З іншого боку, до системи (6) можна безпосередньо застосувати методи чисельного інтегрування диференційних рівнянь (наближені методи).

Досліджування математичної моделі наближеними методами поділяється на такі етапи:

1) обрання обчислювального методу (зазвичай наближених чисельних методів буває декілька);

2) вивчення або складання алгоритму метода;

3) реалізація алгоритму за допомогою обчислювальних засобів.

При виборі чисельного методу суттєвими є обсяг обчислень, швидкість збіжності обчислень (як швидко здобувається результат) та інші чинники. Зокрема, обрання методу залежить і від вхідних даних.

Крім того, на вибір метода впливають засоби його реалізації (ручний розрахунок, наявність обчислювальної машини, наявність готової програми тощо). Так, якщо буде використані швидкодіюча ЕОМ і готова програма, то обсяг обчислень не повинен засмучувати виконавця і бути визначальним фактором при обранні метода. При ручному ж розрахункові слід віддати перевагу методу, який, можливо, потребує деяких певних попередніх досліджень і перетворень математичної моделі, але завдяки цьому потребує й значно меншу кількість обчислень.

1.5.2 Алгоритм методу

Алгоритмом метода називається система правил, яка задає точно визначену послідовність операцій, яка приводить до шуканого результату (точного або наближеного).

Алгоритм - одне із ґрунтовних понять математики. Хід розв'язування обчислювальної (і взагалі будь-якої) задачі має бути поданий через алгоритм.

Алгоритм можна записати словесно-формульно або у вигляді схеми. Так, словесно-формульний опис алгоритму розв'язування задачі 1 за формулою (8) має наступний вигляд:

1. Обчислити .

2. Обчислити .

3. Якщо , перейти до п. 7.

4. Обчислити і .