Контрольная работа: Анализ стационарных и динамических объектов

Обозначим количества выходных S_i . Каждый из элементов в описании уровня 1 представляет собой сложный объект, который, в свою очередь, рассматривается как система S_i на уровне 2. Элементами систем S_i являются объекты S_ij , где j=1,2…, m_i (m_i – количество элементов в описании системы S_i ). Подобное разделение продолжается вплоть до получения на некотором уровне элементов, описания которых дальнейшему делению не подлежат. Такие элементы по отношению к объекту S называют базовыми элементами .

1.1.2. Классификация параметров объектов

Внутренних и внешних параметров через m, n, l, а векторы этих параметров соответственно через Y=(y₁ ,y₂ ,…,y_m ), X=(x₁ ,x₂ ,…,x_n ), Q=(q₁ ,q₂ ,…,q_l ). Свойства системы зависят от внутренних и внешних параметров, т.е. имеет место функциональная зависимость:

Y=F(X,Q). (1.1)

1.1.3. Структура и математическая модель объекта

Структура объекта – это перечень типов элементов, составляющих объект, и способа связи элементов между собой в составе объекта.

Математическая модель (ММ) технического объекта – это система математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, отражающая некоторые свойства технического объекта. Наличие ММ позволяет легко оценивать выходные параметры по известным значениям векторов X и Q. Такая система соотношений (1) является примером математической модели объекта. Однако, существование зависимости (1.1) не означает, что она известна разработчикам и может быть представлена именно в таком явном относительно вектора Y виде. Как правило, ММ в виде (1.1) удается получить только для очень простых объектов. Типичной является ситуация, когда математическое описание процессов в проектируемом объекте задается моделью в форме системы уравнений. Ряд технических объектов в установившемся (стационарном) состоянии (режиме) может быть описан системами линейных алгебраических уравнений.

Такого рода объекты (например, объект, показанный на рис 1.1) относятся к классу линейных стационарных объектов.

в2

в1

х2

S1

Рис. 1.1. Структура линейного стационарного объекта

Структура данного объекта определяется двумя сумматорами S₁ и S₂ , четырьмя линейно– усилительными блоками а₁₁ , а₁₂ , а₂₁ , а₂₂ и системой связей между ними.

Математическая модель такого рода объекта представляет собой систему линейных алгебраических уравнений и имеет вид:

а₁₁ х₁ +а₁₂ х₂ =в₁ ;

а₂₁ х₁ +а₂₂ х₂ =в₂ ;

1.1.4. Анализ объектов

Задача анализа объектов состоит в определении свойств и исследовании работоспособности объекта по его описанию.

При одновариантном анализе задаются значения внутренних и внешних параметров, требуется определить значения выходных параметров объекта.

При одновариантном анализе задается также некоторая точка в пространстве внутренних параметров и требуется в этой точке определить значения выходных параметров. Подобная задача обычно сводится к однократному решению уравнений, составляющих математическую модель, что и обусловливает название этого вида анализа.

Многовариантный анализ заключается в исследовании свойств объекта в некоторой области пространства внутренних параметров. Такой анализ требует многократного решения систем уравнений (многократного выполнения одновариантного анализа).

Задача, ставящаяся при анализе (исследовании) такого рода объектов (рис 1.1), может иметь следующий вид: необходимо определить значения входных воздействий х₁ и х₂ при заданной структуре объекта, определяемой системой связей, и заданных значениях внутренних параметров, при которых выход объекта имел бы требуемые выходные значения в₁ и в_{2 .}

1.1.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений

1.1.5.1. Постановка задачи. Система n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными имеет вид:

(1.2)

– неизвестные числа, подлежащие определению;

– коэффициенты системы;

– свободные члены.

Первый индекс коэффициента указывает номер уравнения, в котором фигурирует данный коэффициент (номер строки), а второй – номер неизвестного, при котором этот коэффициент поставлен (номер столбца). Коэффициенты системы, как и свободные члены, предполагаются известными.

Решением системы (или ее корнями) называется всякая совокупность чисел, , которая, будучи подставлена в систему вместо неизвестных , обращает все уравнения системы в тождества. Отметим, что совокупность чисел составляет одно решение системы, а не n решений.

В матричной форме система может быть записана как

(1.3)

или в обобщенной форме: (1.4)

1.1.5.2. Классификация методов решения. На практике применяют два типа методов:

– прямые или точные;